Question

【题目】如图1，矩形在坐标系中，、分别在轴、轴的正半轴上，，矩形周长为18，面积为18．

（1）求点坐标；

（2）如图2，、、分别在、、上，连、，若于，，设点横坐标为，求的长（用含的代数式表示）；

（3）如图3，在（2）的条件下，是中点，连并延长至，连交于，若，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）B（6，3）（2）CG＝2t（3）t＝

【解析】

（1）设B点坐标为（m，n），根据矩形周长和面积的值列方程组求解．

（2）作DH⊥OC于H，可证△DHE△OCG，由相似比可得CG＝2HE＝2AD．

（3）作MN⊥OC于N，交OG于K，连接OD，设DE与OQ交于点R．先证DMKF四点共圆，进而得出∠KFM＝45，再导角推出OP是∠AOG的角平分线，然后可以导出△DRQ和△EOR均为等腰三角形，于是DE的长可用t表示出来．注意到∠AOD与∠NOK相等，可推出OD＝DE，最后利用直角三角形AOD列勾股方程解出t的值．

（1）设B点坐标为（m，n）(m＞n)

由题意可知：

解得：或（舍去）

∴B点坐标为（6，3）．

（2）如图2，作DH⊥OC于H．

则∠DHE＝90，

∴∠HDE＋∠DEH＝90，

∵DH⊥OG于F，

∴∠GOC＋∠DEH＝∠OFE＝90，

∴∠HDE＝∠COG，

∵∠OCG＝90＝∠DHE，

∴△DHE△OCG，

∴

∵B（6，3），

∴AB＝OC＝6，AO＝DH＝BC＝3，

∴＝2，

∴CG＝2HE，

∵D点横坐标为t，

∴OH＝AD＝t，

∴OE＝2AD，

∴HE＝OH＝t，

∴CG＝2HE＝2t．

（3）如图3，作MN⊥OC于N，交OG于K，连接OD．

∵M为AB中点，

∴AM＝BM＝ON＝CN＝AO＝BC＝MN＝3，KN＝CG＝t，

∴KN＝AD，所以DM＝KM，

∵∠DFK＝∠DMK＝90，

∴DFKM四点共圆，

∴∠DFM＝∠KFM＝45，

∵∠KFM＝∠OPF＋∠FOP，

∴∠FOP＋＝45，

∴2∠FOP＋2＝90°，

∵∠AOC＝90，

∴∠AOQ＋∠FOP＋∠COG＝∠AOQ＋∠FOP＋2＝90，

∴∠AOQ＝∠FOP，

∵∠AOQ＝∠OFR＝90，

∴∠ORF＝∠OQA，

∵∠ORF＝∠DRQ，∠OQA＝∠ROE，

∴∠DRQ＝∠OQA，∠ROE＝∠ORF，

∴DR＝DQ＝，RE＝OE＝2t，

∴DE＝DR＋RE＝＋2t，

∵tan∠AOD＝＝tan∠NOK，

∴∠AOD＝∠NOK，

∵∠AOD＋∠DOE＝∠NOK＋∠OEF＝90，

∴∠DOE＝∠OEF，

∴OD＝DE＝＋2t，

在Rt△AOD中：OA2＋AD2＝OD2，

∴9＋t2＝(＋2t)2，

解得t＝．