Question

19．如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点D，交AB的延长线于点C，CE⊥AD于点E．
（1）求证：∠DCE=∠A；
（2）若CE=4，tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据圆周角定理得出∠ADB=90°，求出∠A+∠DBO=90°，根据切线的性质求出∠ODC=90°，求出∠BDC+∠ODB=90°，即可得出∠BDC=∠A，进而证得BD∥CE，即可得出结论；
（2）根据∴∠BDC=∠DCE=∠A求出tan∠DCE=tan∠A=$\frac{3}{4}$，然后通过解直角三角形求出即可．

解答 （1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠DBO=90°，
∵CD切⊙O于D，
∴∠CDO=90°，
∴∠BDC+∠ODB=90°，
∵OD=OB，
∴∠DBO=∠ODB，
∴∠BDC=∠A，
∵CE⊥AD，∠ADB=90°，
∴BD∥CE，
∴∠BDC=∠DCE，
∴∠DCE=∠A；


（2）解：∵∠DCE=∠BDC，tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠DCE=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{3}{4}$，
∵CE=4，
∴DE=3，
∵∠DCE=∠A，
∴tan∠A=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{CE}{AE}$=$\frac{3}{4}$
∴AE=$\frac{16}{3}$，
∴AD=AE-DE=$\frac{7}{3}$，
∴BD=$\frac{3}{4}$AD=$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质以及解直角三角形等，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．