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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放（点C与E重合），点B，C，E，F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=45°，AC=8，BC=6，EF=10．如图2，△DEF从图1位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，AC与△DEF的直角边相交于点Q，当E到达终点B时，△DEF与点P同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
    （1）当D在AC上时，求t的值；
    （2）在P点运动过程中，是否存在点P，使△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
    （3）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
    分析：（1）根据等腰三角形性质求出即可；
    （2）①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似与勾股定理，即可求出答案；
    （3）根据四边形APEQ的面积=
    1
    2
    AC•BC-
    1
    2
    EC•EQ-
    1
    2
    BE•PM，由三角形的面积之差就可以表示出四边形的面积，分两种情况可以求出y与t之间的关系式．
    解答：解：（1）当D在AC上时，
    ∵DE=DF，
    ∴EC=CF=
    1
    2
    EF=5，
    ∴t=5；

    （2）存在．
    ∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
    ∴∠CQE=45°=∠DEF，
    ∴CQ=CE=t，
    AQ=8-t，当0≤t＜5时，
    ①AP=AQ，
    t=8-t，
    ∴t=4；
    ②AP=PQ，
    作PH⊥AC于H，
    AH=HQ=
    1
    2
    AQ=4-
    1
    2
    t，
    ∵PH∥BC，
    ∴△APH∽△ABC，
    ∴
    AP
    AH
    =
    AB
    AC

    ∴
    t
    4-
    1
    2
    t
    =
    10
    8
    ，
    ∴t=
    40
    13
    ；
    ③AQ=PQ，
    作QI⊥AB于I，
    AI=PI=
    1
    2
    AP=
    1
    2
    t（等腰三角形的性质三线合一），
    ∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
    ∴△AIQ∽△ACB，
    ∴
    AI
    AQ
    =
    AC
    AB
    ，
    ∴
    1
    2
    t
    8-t
    =
    8
    10
    ，
    ∴t=
    64
    13
    ；
    ④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
    同理可求出，
    FC=QC=10-t，BP=10-t，
    PH=
    4
    5
    （10-t）=8-
    4
    5
    t，
    BH=
    3
    5
    （10-t）=6-
    3
    5
    t，
    QG=QC-GC=QC-PH=10-t-（8-
    4
    5
    t）=2-
    t
    5
    ，PG=HC=6-（6-
    3
    5
    t）=
    3
    5
    t，
    PQ=AQ=8-（10-t）=t-2，
    ∴PQ 2=PG 2+QG 2，
    （t-2）2=（
    3
    5
    t）2+（2-
    t
    5
    ）2，
    解得：t1=0（舍去），t2=
    16
    3
    秒，
    综合上述：当t等于4秒、
    40
    13
    秒、
    64
    13
    秒、
    16
    3
    秒时△APQ是等腰三角形．

    （3）如图4，过点P作PM⊥BE于M，
    ∴∠BMP=90°．
    ∴△ABC∽△PBM，
    ∴
    AC
    PM
    =
    AB
    PB
    ，
    ∴
    8
    PM
    =
    10
    10-t
    ，
    ∴PM=8-
    4
    5
    t．
    ①当0＜t＜5时，
    y=
    1
    2
    AC•BC-
    1
    2
    EC•CQ-
    1
    2
    BE•PM
    =
    1
    2
    ×8×6-
    1
    2
    ×t×t-
    1
    2
    ×(6-t)(8-
    4
    5
    t)    ，
    =-
    9
    10
    t2+
    32
    5
    t    ；
    ②如图5，当5≤t＜6时，
    y=
    1
    2
    ×8×6-
    1
    2
    ×t×(10-t)-
    1
    2
    ×(6-t)(8-
    4
    5
    t)    ，
    =
    1
    10
    t2+
    7
    5
    t    ．
    综上所述，y与t之间的函数关系式为：y=
    -
    9
    10
    t2+
    32
    5
    t   (0＜t＜5)
    1
    10
    t2+
    7
    5
    t       (5≤t＜6)
    点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理的运用，特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大．
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    （1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
    （2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？
    （3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
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    （1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
    （2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
    （3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

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    （1）填空：CQ=
    t
    t
    ，AQ=
    8-t
    8-t
    （用含t的式子表示）；
    （2）当t为何值时，点P在以AQ为直径的⊙M上？
    （3）当P、Q、F三点在同一条直线上时，如图（3），求t的值．

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    （2013•安溪县质检）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按图（a）摆放，点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8厘米，BC=6厘米，EF=9厘米．如图（b），△DEF从图（a）的位置出发，以1厘米/秒的速度沿CB向△ABC匀速移动，点P同时从点B出发，以2厘米/秒的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时移动即停止．记DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（秒）（0＜t＜4.5）．求：
    （1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
    （2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似；
    （3）当t为何值时，点P、Q、F在同一直线上．

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