Question

（2008•上海模拟）已知：一次函数y=x+4的图象与二次函数y=x²+bx+c的图象都经过点Q（-1，m）和点A（n，0），二次函数图象的顶点为M．
求：（1）这个二次函数的解析式．
（2）∠OQM的度数．

Answer 1

分析：（1）先把（-1，m）、（n，0）代入一次函数y=x+4中，易求m、n的值，再把Q、A点的坐标代入二次函数，可得关于b、c的二元一次方程组，解即可求b、c，进而可得二次函数解析式；
（2）根据（1）中所求二次函数解析式，结合顶点的计算公式，易求M的坐标，利用两点之间的距离公式，易求OQ、OM、QM的长，进而可知OQ²+OM²=QM²，OQ=OM，易知△OMQ是等腰直角三角形，那么∠OQM=45°．

解答：解：（1）把（-1，m）、（n，0）代入一次函数y=x+4中，得
m=3，n=-4，
再把（-1，3）（-4，0）代入二次函数y=x²+bx+c中，得

1-b+c=3 16-4b+c=0

，
解得

b=6 c=8

，
∴二次函数的解析式是y=x²+6x+8；

（2）∵y=x²+6x+8，如右图，
∴此函数顶点坐标是（-3，-1），
∵Q（-1，3），O（0，0），M（-3，-1），
∴OQ=

10

，OM=

10

，QM=2

10

，
∴OQ²+OM²=QM²，OQ=OM，
∴△OMQ是等腰直角三角形，
∴∠OQM=45°．

点评：本题考查了待定系数法求函数解析式、两点之间的距离公式，解题的关键是理解点与函数解析式之间的关系，以及熟练掌握二次函数顶点的计算公式、并会画出草图．