如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.tan∠CAB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.AB=3.点D在以斜边AB为直径的半圆上.点M是CD的三等分点.当点D沿着半圆.从点A运动到点B时.点M运动的路径长为( )A．π或$\frac{π}{2}$B．$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{3}$C．$\frac{π}{3}$或πD．$\frac{π}{4}$或$\frac{� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠CAB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AB=3，点D在以斜边AB为直径的半圆上，点M是CD的三等分点，当点D沿着半圆，从点A运动到点B时，点M运动的路径长为（　　）

A．

π或$\frac{π}{2}$

B．

$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{3}$

C．

$\frac{π}{3}$或π

D．

$\frac{π}{4}$或$\frac{π}{3}$

分析如图当点D与B重合时，首先证明点M的轨迹是以EF为直径的半圆，由题意易知EF=2，可得点M运动的路径长为π，当CM′=$\frac{1}{3}$CD时，同法可得点M运动的路径长．

解答解：如图，

当点D与B重合时，M与F重合，当点D与A重合时，M与E重合，连接BD、FM、AD、EM．
当$\frac{CF}{BC}$=$\frac{CM}{CD}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{2}{3}$时，易知FM∥BD，EM∥AD，
∴∠FMC=∠BDC，∠CME=∠CDA，
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠FME=∠BDA=90°，
∴点M的轨迹是以BC为直径的半圆，由题意易知EF=2，
∴点M运动的路径长为π，
当CM′=$\frac{1}{3}$CD时，同法可得点M运动的路径长为$\frac{1}{2}$π，
故选A．

点评本题考查轨迹、直角三角形的性质、圆的有关知识，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是确定点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．

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