已知:在直角坐标系中.A为x轴负半轴上的点.B为y轴负半轴上的点． (1)如图1.以A点为顶点.AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC.若OA=2.OB=4.试求C点的坐标．(2)如图2.若点A的坐标为(-23.0).点B的坐标为.点D的纵坐标为n.以B为顶点.BA为腰作等腰Rt△ABD．试问:当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时.整式2m+2n-53的值是否发� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知：在直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．

（1）如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若OA=2，OB=4，试求C点的坐标．
（2）如图2，若点A的坐标为（-2

，0），点B的坐标为（0，-m），点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰Rt△ABD．试问：当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2m+2n-5

的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
（3）如图3，E为x轴负半轴上的一点，且OB=OE，OF⊥EB于点F，以OB为边作等边△OBM，连接EM交OF于点N，试探索：在线段EF、EN和MN中，哪条线段等于EM与ON的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明．

分析：（1）作CQ⊥OA于点Q，可以证明△AQC≌△BOA，由QC=AO，AQ=BO，再由条件就可以求出C的坐标．
（2）作DP⊥OB于点P，可以证明△AOB≌△BPD，则有AO=BP=OB-PO=m-（-n）=m+n为定值，从而可以得出结论2m+2n-5

的值不变为-

．
（3）作BH⊥EB于B，由条件可以得出∠1=30°，∠2=∠3=∠EMO=15°，∠EOF=∠BMG=45°，EO=BM，可以证明△ENO≌△BGM，则GM=ON，就有EM-ON=EM-GM=EG，最后由平行线分线段成比例定理就可以得出EN=EM-ON的一半．

解答：解：（1）如图（1）作CQ⊥OA于点Q，
∴∠AQC=90°
∵△ABC等腰Rt△，
∴AC=AB，∠CAB=90°，
∴∠ACQ=∠BAO．
∴△AQC≌△BOA，
∴CQ=AO，AQ=BO．
∵OA=2，OB=4，
∴CQ=2，AQ=4，
∴OQ=6，
C（-6，-2）．
（2）如图（2）作DP⊥OB于点P，
∴∠BPD=90°，
∵△ABD等腰Rt△，
∴AB=BD，∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°，
∴∠ABO=∠BDP，
∴△AOB≌△BPD，
∴AO=BP，
∵BP=OB-PO=m-（-n）=m+n，
∴A（-2

，0），
∴OA=2

，
∴m+n=2

，
∴当B点沿y轴负半轴向下运动时AO=BP=m+n=2

，
∴整式2m+2n-5

的值不变为-

．

（3）EN=

（EM-ON）
证明：如图（3）在ME上截取MG=ON，连接BG，
∵△OBM是等边三角形，
∴BO=BM=MO，∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°，
∴EO=MO，∠EBM=105°，∠1=30°，
∵OE=OB，
∴OE=OM=BM．
∴∠3=∠EMO=15°，
∴∠BEM=30°，∠BME=45°，
∵OF⊥EB，
∴∠EOF=45°，
∴∠EOF=∠BME．
∴△ENO≌△BGM，
∴BG=EN．ON=MG，
∴∠2=∠3，
∴∠2=15°，
∴∠EBG=90°
∴BG=

EG，
∴EN=

EG，
∵EG=EM-GM，
∴EN=

（EM-GM），
∴EN=

（EM-ON）

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线等分线段定理的运用．

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已知：在直角坐标系中，A、B两点是抛物线y=x²-（m-3）x-m与x轴的交点（A在B的右侧），x₁、x₂分别是A、B两点的横坐标，且|x₁-x₂|=3．
（1）当m＞0时，求抛物线的解析式．
（2）如果（1）中所求的抛物线与y轴交于点C，问y轴上是否存在点D（不含与C重合的点），使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）一次函数y=kx+b的图象经过抛物线的顶点，且当k＞0时，图象与两坐标轴所围成的面积是

，求一次函数的解析式．

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如图，已知：在直角坐标系中．点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动．B（4，2），以BE为直径作⊙O₁．

（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O₁的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，连接FB，几秒时FB与⊙O₁相切？
（3）若点E提前2秒出发，点F再出发．当点F出发后，点E在A点的左侧时，设BA⊥x轴于点A，连接AF交⊙O₁于点P，试问AP•AF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请求其值的变化范围．

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