Question

（北师大版）连接着汉口集家咀的江汉三桥（晴川桥），是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥．它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观．桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米．以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；
（2）正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先设抛物线的解析式，代入图中的坐标可解．
（2）假设存在一根系杆的长度是OC的一半，长度为28m，得出x的值与实际不符．故没有．

解答：解：（1）结合图象由题意：
抛物线图象的对称轴是y轴，与x轴交点的坐标是（-140，0）、（140，0），且经过点（70，42）．
易求y=-

1

350

x²+56．

（2）当x=0时，y=56
设存在一根系杆的长度是OC的一半，即这根系杆的长度是28米，
x=±70

2

相邻系杆之间的间距均为5米，最中间系杆OC在y轴上，
∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．
∴x=±70

2

与实际不符．
∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半．

点评：（1）先求出B、E两点坐标．根据建立的平面直角坐标系中的抛物线的形状，可设关系式为y=ax²+c，然后将B、E两点坐标代入关系式中可求出a、c的值．
（2）OC的长恰好等于抛物线顶点的纵坐标，再判断是否存在一根等于OC长度一半的系杆．
命题立意：此题是用二次函数的知识解决实际问题．此题是一个实际应用题，培养同学们用数学知识解决实际问题的能力，这也正体现了新课标的要求．