Question

24、如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，设AD边的长为x米，矩形的面积为y（平方米）．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？

Answer 1

分析：（1）AB=（篱笆长-2AD），把相关数值代入即可求解；
（2）等量关系为：AB×AD=750，把相关数值代入即可求解；假使矩形面积为810，则x无实数根，所以不能围成矩形场地．

解答：解：（1）∵AD=BC=xm，∴AB=80-2xm，
由题意得y=x（80-2x）
=-2x²+80x（0＜x＜40
当y=750时得：-2x²+80x=750，
解得：x₁=15x₂=25
当x=15时，AD=BC=15m，AB=50m
当x=25时，AD=BC=25m，AB=30m
∴当平行于墙面的边长为50m，邻边长为15m时；
或当平行于墙面的边长为30m，邻边长为25m时矩形场地面积为750m²．
（2）由题意得：-2x²+80x=810整理得：x²-40x+405=0
∵△=40-4×405=1600-1620=-20＜0
∴方程无解，即不能围成面积为810m²的矩形场地．
或解：将y=-2x²+80x配方得y=-2（x-20）²+800（0＜x＜40
∵a=-2＜0∴当x=20时，y有最大值800∴不能围成面积为810m²的矩形场地．

点评：此题考查了二次函数的应用，不仅是一道实际问题，而且结合了矩形的性质，解答此题要注意以下问题：（1）矩形的一边为墙，且墙的长度不超过45米；（2）根据矩形的面积公式列一元二次方程并根据根的判别式来判断是否两边长相等．