Question

2．已知二次函数y=x²+mx+m-5（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两公共点；
（2）若该二次函数的图象过点（0，-3），则将函数图象沿x轴怎样平移能使抛物线过原点？

Answer 1

分析 （1）框将函数问题转化为方程问题，然后证明△＞0即可；
（2）将点（0，-3）代入可求得m的值，从而得到抛物线的接下来，然后再求得抛物线与x轴的交点坐标，然后可确定出平移的方向和距离．

解答 解：（1）令y=0得关于x的一元二次方程：x²+mx+m-5=0，则△=b²-4ac=m²-4（m-5）=m²-4m+20=（m-2）²+16．
∵不论m为何值，（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+16＞0．
∴不论m为何值，一元二次方程x²+mx+m-5=0一定有两个不相等的实数根，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两公共点．
（2）∵函数图象过点（0，-3），
∴m-5=-3，m=2，
∴二次函数表达式为y=x²+2x-3，
∵令y=0得：x²+2x-3=0解得：x₁=1，x₂=-3．
∴函数的图象与x轴的两个交点为：（1，0）和（-3，0）．
∴将函数图象沿x 轴向右平移3个单位或向左平移1个单位就能使抛物线过原点．

点评 本题主要考查的是二次与x轴的交点问题，求得抛物线与x轴的两交点的坐标是解答问题（2）的关键．