【题目】已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.
(1)如图1,E,G分别是OB,OC上的点,CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE,求证:OE=OG;
(2)如图2,H是BC上的点,过点H作EH⊥BC,交线段OB于点E,连结DH交CE于点F,交OC于点G.若OE=OG,
①求证:∠ODG=∠OCE;
②当AB=1时,求HC的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②
【解析】试题分析:(1)欲证明OE=OG,只要证明△DOG≌△COE(ASA)即可;
(2)①欲证明∠ODG=∠OCE,只要证明△ODG≌△OCE即可;
②设CH=x,由△CHE∽△DCH,可得,即HC2=EHCD,由此构建方程即可解决问题;
试题解析:(1)证明:如图1中,∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OD=OC,∴∠DOG=∠COE=90°,∴∠OEC+∠OCE=90°,∵DF⊥CE,∴∠OEC+∠ODG=90°,∴∠ODG=∠OCE,∴△DOG≌△COE(ASA),∴OE=OG.
(2)①证明:如图2中,∵OG=OE,∠DOG=∠COE=90°OD=OC,∴△ODG≌△OCE,∴∠ODG=∠OCE.
②解:设CH=x,∵四边形ABCD是正方形,AB=1,∴BH=1﹣x,∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°,∵EH⊥BC,∴∠BEH=∠EBH=45°,∴EH=BH=1﹣x,∵∠ODG=∠OCE,∴∠BDC﹣∠ODG=∠ACB﹣∠OCE,∴∠HDC=∠ECH,∵EH⊥BC,∴∠EHC=∠HCD=90°,∴△CHE∽△DCH,∴,∴HC2=EHCD,∴x2=(1﹣x)1,解得x=
或
(舍弃),∴HC=
.
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【题目】如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为BC边上的点,AB=BD,反比例函数在第一象限内的图象经过点D(m,2)和AB边上的点E(n,
).
(1)求m、n的值和反比例函数的表达式.
(2)将矩形OABC的一角折叠,使点O与点D重合,折痕分别与x轴,y轴正半轴交于点F,G,求线段FG的长.
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【题目】某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本
(1)求每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,点A 坐标为(1,1),点C是线段OA上的一个动点(不运动至O,A两点)过点C作CD⊥x轴,垂足为D,以CD为边在右侧作正方形CDEF,连接AF并延长交x轴的正半轴于点B,连接OF,若以B、E、F为顶点的三角形与△OEF相似,,则B的坐标是 ___________
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【题目】如图,△ABC中,AD⊥BC交BC于D,AE平分∠BAC交BC于E,F为BC的延长线上一点,FG⊥AE交AD的延长线于G,AC的延长线交FG于H,连接BG,下列结论:①∠DAE=∠F;②∠DAE=(∠ABD﹣∠ACE);③S△AEB:S△AEC=AB:AC;④∠AGH=∠BAE+∠ACB,其中正确的结论有( )个.
A.1B.2C.3D.4
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知一次函数的图象经过点A(5,0),B(1,4).
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)直线AB、直线y=2x﹣4与y轴所围成的三角形的面积为 .
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【题目】如图,一块铁片边缘是由抛物线和线段AB组成,测得AB=20cm,抛物线的顶点到AB边的距离为25cm.现要沿AB边向上依次截取宽度均为4cm的矩形铁皮,从下往上依次是第一块,第二块…如图所示.已知截得的铁皮中有一块是正方形,则这块正方形铁皮是第________块.
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