Question

如图所示，在直角△ABC中，已知∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，
E为AC的中点，连结DE、OE．
（1）试猜想DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径是3cm，ED=4cm，求AB的长．

Answer 1

解：（1）DE是⊙O的切线，
理由：连结OD，
∵O、E分别是BC、AC中点，
∴OE∥AB．
∴∠1=∠2，∠B=∠3，
又∵OB=OD，
∴∠2=∠3，
在△OCE和△ODE中

∴△OCE≌△ODE（SAS）．
∴∠OCE=∠ODE，
又∵∠C=90°，
∴∠ODE=90°．
∴DE是⊙O的切线．

（2）在Rt△ODE中，由OD=3，DE=4，由勾股定理得：OE=5，
又∵O、E分别是CB、CA的中点，
∴AB=2•OE=2×5=10，
∴AB的长是10cm．
分析：（1）求出∠2=∠3，证△OCE≌△ODE，推出∠ODE=90°，根据切线判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出OE，根据三角形中位线得出AB=2OE，代入求出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质，切线的判定，三角形的中位线，勾股定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．