Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与边AB、BC分别交于点D、E．过E的直线与⊙O相切，与AC的延长线交于点G，与AB交于点F．

（1）求证：△BDE为等腰三角形；

（2）求证：GF⊥AB；

（3）若⊙O半径为3，DF＝1，求CG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）∵四边形ACED是⊙O的内接四边形，

∴∠ACB＋∠ADE＝180°．………1分

∵∠BDE＋∠ADE＝180°，∴∠BDE＝∠ACB．………2分

∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．

∴∠B＝∠BDE，∴△BDE为等腰三角形．…………3分

（2）连结OE，∵直线FG与⊙O相切，

∴∠OEG＝90°．…………4分

∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠ACB．

∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠OEC，∴OE∥AB．……5分

∴∠AFG＝∠OEG＝90°，即GF⊥AB． …………6分

（3）设CG＝x．∵△BDE为等腰三角形，GF⊥AB，

∴BF＝DF＝1，AF＝AB－BF＝AC－BF＝5．………………7分

∵OE∥AB，∴△GOE∽△GAF，∴＝， …………8分

∴＝，解得x＝，即CG＝．