Question

如图，关于x的二次函数y=x²-2mx-m的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（x₂＞0＞x₁），与y轴交于C点，且∠BAC=∠BCO．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）以点D（

2

，0）为圆心作⊙D，与y轴相切于点O．过抛物线上一点E（x₃，t）（t＞0，x₃＜0）作x轴的平行线与⊙D交于F、G两点，与抛物线交于另一点H．问：是否存在实数t，使得EF+GH=FG？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）中求函数解析式即要求m的大小，由图可知，OC=|m|，又抛物线与x轴交于A、B两点，则OA•OB=m，且m＞0，根据题设条件可推得△BCO∽△CAO，帮CO²=OA•OB即m²=m，从而求出m=1（m=0不合题意，舍去）．
（2）是一道存在型探索问题，可先假设符合题意的t值存在，再把EF+GH=FG作为已知条件结合题设与相关知识进行演算推证，若求出合适的t的值，则假设成立；若求不出t值或所求值与已知矛盾，则假设不成立．

解答：解：（1）∵∠BAC=∠BCO，∠BOC=∠COA=90°
∵△BCO∽△CAO，
∴

AO

CO

=

CO

OB

，
∴CO²=AO•OB．
由已知可得：AO=|x₁|=-x₁，OB=|x₂|=x₂
∵x₁x₂=-m＜0，
∴m＞0，
∴CO=m，AO•BO=m
∴m²=m，m=1，m=0（舍去），
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-1；

（2）存在实数t，使得EF+GH=FG．
过D作DM⊥EH于M，连接DG，
∵EH∥x轴，E（x₃，t），
∴DM=t，
∵DG=DO=

2

∴FG=2MG=2

DG2-DM2

=2

2-t2

，
由EF+GH=FG得EH=2FG；
又∵EH∥x轴，E（x₃，t），
∴设H（x₄，t）
∵E、H是抛物线上的两点，
∴x₃²-2x₃-1=t，x₄²-2x₄-1=t，
即x₃、x₄是方程的两个不相等的根，
∴x₃+x₄=2，x₃•x₄=-（1+t），
∵x₃＜0
∴x₄＞0
∴EH=x₄-x₃=

(x3+x4)2-4x3x4

=

4+4(1+t)

=2

2+t

，
∴2

2+t

=4

2-t2

，
即4t²+t-6=0，
解这个方程得t₁=

97 -1

8

，t₂=-

97 +1

8

（舍去），
故存在实数t=

97 -1

8

，使得EF+GH=FG．

点评：本题是函数与圆的综合题，考查了相似三角形、韦达定理等知识，综合性较强．