【题目】如图,A(-2,2)、AB⊥x轴于点B,AD⊥y轴于点D,C(-2,1)为AB的中点,直线CD交x轴于点F.
(1)求直线CD的函数关系式;
(2)过点C作CE⊥DF且交x轴于点E,求证:∠ADC=∠EDC;
(3)求点E坐标;
(4)点P是直线CE上的一个动点,求PB+PF的最小值.
【答案】(1)y=x+2;(2)证明见解析;(3)E(
,0);(4)PB+PF的最小值为
.
【解析】
(1)由题意先求出D的坐标,再利用待定系数法可求得直线CD的函数关系式;
(2)可先证明△ADC≌△BFC,利用全等三角形的性质得CF=CD,∠BFC=∠ADC,从而可证明DE=EF,最后利用等边对等角及等量代换即可证明∠ADC=∠EDC;
(3)利用直线CD的函数关系式可求出点F坐标,从而得到OF=4,设OE=x,则EF=DE=4-x,最后在Rt△DOE中利用勾股定理建立方程即可求出OE得到点E坐标;
(4)由(2)可知点D与F关于直线CE对称,连接BD交直线CE于点P,则可知P点即为满足条件的动点,由勾股定理可求得BD的长,即PB+PF的最小值.
解:(1)∵A(-2,2),AD⊥y轴于点D,
∴D(0,2),
设直线CD解析式为y=kx+b(k≠0),把点D(0,2),C(-2,1),代入得:,
解得,
∴直线CD的函数关系式为y=x+2;
(2)∵C是AB的中点,
∴AC=BC,
∵AD⊥y轴于点D,
∴AD∥x轴,
∵AB⊥x轴于点B,
∴∠A=∠CBF=90°,
在△ACD和△BCF中,,
∴△ACD≌△BCF(ASA),
∴CF=CD,∠BFC=∠ADC,
∵CE⊥DF,
∴CE垂直平分DF,
∴DE=FE,
∴∠EDC=∠EFC,
∴∠ADC=∠EDC;
(3)∵直线CD的函数关系式为y=x+2,
∴把y=0代入得0=x+2,解得x=-4,
∴F(-4,0),
∴OF=4,
∵D(0,2),
∴OD=2,
设OE=x,则EF=DE=4-x,
在Rt△DOE中,,解得x=
,即OE=
,
∴E(,0);
(4)如图,连接BD交直线CE于点P,
由(2)可知点D与点F关于直线CE对称,
∴PD=PF,
∴PB+PF=PB+PD≥BD,
∵A(-2,2),AB⊥x轴于点B,
∴B(-2,0),
∴BD=,
∴PB+PF的最小值为.
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(4,0),与y轴交于点C(0,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的最大值;
(3)点D为抛物线对称轴上一点.
①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,直接写出点D的坐标;
②若△BCD是锐角三角形,直接写出点D的纵坐标n的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线AB交y轴于A(0,a),交x轴于B(b,0),且a,b满足(a﹣b)2+|3a+5b﹣88|=0.
(1)求点A,B的坐标;
(2)如图1,已知点D(2,5),求点D关于直线AB对称的点C的坐标.
(3)如图2,若P是∠OBA的角平分线上的一点,∠APO=67.5°,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点叫作整点,直线y=kx-3(k>0),与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有且只有三个整点,则k的取值范围是__________.
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点都在格点上,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)将△ABC向左平移7个单位长度后再向下平移3个单位长度,请画出经过两次平移后得到的△A1B1C1;
(2)以原点O为位似中心,将△ABC缩小,使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2,并写出点A2的坐标.
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【题目】剪纸是中国传统的民间艺术,它画面精美,风格独特,深受大家喜爱,现有三张不透明的卡片,其中两张卡片的正面图案为“金鱼”,另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”,卡片除正面剪纸图案不同外,其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张,记录图案后放回,重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法,求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率.(图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2,图案为“蝴蝶”的卡片记为B)
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【题目】把两个直角三角形如图放置,使
与
重合,
与
相交于点
,其中
,
,
,
,
.
图
中线段
的长
________
;
________
如图
,把
绕着点
逆时针旋转
度
得
,
与
相交于点
,若
恰好是以
为底边的等腰三角形,求线段
的长.
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【题目】如图,在中,
,在边长为
的小正方形组成的网格中,
的顶点
、
均在格点上,点
在
轴上,点
的坐标为
.
点
关于点
中心对称的点的坐标为________;
绕点
顺时针旋转
后得到
,那么点
的坐标为________;线段
在旋转过程中所扫过的面积是________.
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【题目】如图,是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1;④a﹣2b+c>0.其中正确的命题是 .
A. ① ② B. ① ② ③ C. ③ ④ D. ① ③
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