Question

17．如图，已知?ABCD的三个顶点A（n，0），B（m，0），D（0，2n）（m＞n＞0），作?ABCD关于直线AD的对称图形AB₁C₁D．
（1）若?ABCD是菱形，
①试求$\frac{m}{n}$的值；
②求证：CC₁=4n；
（2）若m=3，试求四边形CC₁B₁B面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）①先根据勾股定理，Rt△AOD中，求得AD=$\sqrt{A{O}^{2}+D{O}^{2}}$=$\sqrt{5{n}^{2}}$=$\sqrt{5}$n，再根据A（n，0），B（m，0），得出AB=m-n，最后根据AD=AB，得到$\sqrt{5}$n=m-n，进而得出$\frac{m}{n}$的值；
②设CC₁与AD交于点E，根据平行线的性质，得出∠CDE=∠DAO，再根据轴对称的性质得出，∠CED=90°=∠DOA，CE=C₁E，再判定△CDE≌△DAO（AAS），即可得出CE=DO=2n，进而得到CC₁=4n；
（2）根据四边形BCEF、四边形B₁C₁EF都是平行四边形，易证S_?BCEF=S_?BCDA=S_?B1C1DA=S_?B1C1EF，从而可得S_?BCC1B1=2S_?BCDA=-4（n-$\frac{3}{2}$）²+9，根据二次函数的性质就可求得四边形CC₁B₁B面积S的最大值．

解答 解：（1）①∵A（n，0），D（0，2n），
∴AO=n，DO=2n，
∴Rt△AOD中，AD=$\sqrt{A{O}^{2}+D{O}^{2}}$=$\sqrt{5{n}^{2}}$=$\sqrt{5}$n，
∵A（n，0），B（m，0），
∴AB=m-n，
当?ABCD是菱形时，AD=AB，
∴$\sqrt{5}$n=m-n，即（$\sqrt{5}$+1）n=m，
∴$\frac{m}{n}$=$\sqrt{5}$+1；

②设CC₁与AD交于点E，
∵CD∥x轴，
∴∠CDE=∠DAO，
∵点C与点C₁关于直线AD对称，
∴AD垂直平分CC₁，
∴∠CED=90°=∠DOA，CE=C₁E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=DA，
在△CDE和△DAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CED=∠DOA}\\{∠CDE=∠DAO}\\{CD=DA}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△DAO（AAS），
∴CE=DO=2n，
∴C₁E=2n，
∴CC₁=2n+2n=4n；

（2）∵?ABCD与四边形AB₁C₁D关于直线AD对称，
∴四边形AB₁C₁D是平行四边形，CC₁⊥EF，BB₁⊥EF，
∴BC∥AD∥B₁C₁，CC₁∥BB₁，
∴四边形BCEF、四边形B₁C₁EF都是平行四边形，
∴S_?BCEF=S_?BCDA=S_?B1C1DA=S_?B1C1EF，
∴S_?BCC1B1=2S_?BCDA，
∵A（n，0），B（m，0），D（0，2n），m=3，
∴AB=m-n=3-n，OD=2n，
∴S_?BCDA=AB•OD=（3-n）•2n=-2（n²-3n）=-2（n-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{2}$，
∴S_?BCC1B1=2S_?BCDA=-4（n-$\frac{3}{2}$）²+9，
∵-4＜0，
∴当n=$\frac{3}{2}$时，S_?BCC1B1最大值为9．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质，轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等知识的综合应用．解题时得到S_?BCC1B1=2S_?BCDA是解决第（2）小题的关键．解题时注意：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标．