Question

已知二次函数y=x²-（m-2）x+m的图象经过（-1，15），
（1）求m的值；
（2）设此二次函数的图象与x轴的交点为A、B，图象上的点C使△ABC的面积等于1，求C点的坐标；
（3）当△ABC的面积大于3时，求点C横坐标的取值范围？

Answer 1

分析：（1）根据二次函数y=x²-（m-2）x+m的图象经过（-1，15），得出m的值即可；
（2）将（1）中m的值，得出二次函数解析式，即可得出与x轴的交点坐标，进而得出C点的坐标；
（3）由（2）得出：当△ABC的面积大于3时，即x²-6x+8＞3，即可得出答案．

解答：解：（1）∵二次函数y=x²-（m-2）x+m的图象经过（-1，15），
∴代入解析式得：15=1-（m-2）×（-1）+m，
解得：m=8；

（2）∵m=8，
∴二次函数解析式为y=x²-6x+8，
与x轴交点坐标为：0=x²-6x+8，
∴x₁=2，x₂=4，
∴此二次函数的图象与x轴的交点为A（2，0）、B（4，0），
∵图象上的点C使△ABC的面积等于1，
∴当C在x轴上方是：

1

2

×AB×C′F=1，
∵AB=1，
∴C′F=1，
∴1=x²-6x+8，
∴x=3±

2

，
C′（3+

2

，1），C″（3-

2

，1），
当C在顶点坐标时C（3，-1）；

（3）由（2）得出：
当△ABC的面积大于3时，
∴x²-6x+8＞3，
当x²-6x+8=3时，
x₁=1，x₂=5，
∴x²-6x+8＞3时，
∴x＜1或x＞5，
∴点C横坐标的取值范围：x＜1或x＞5．

点评：此题主要考查了图象上点的性质以及三角形面积求法和数形结合求二次不等式解集，利用数形结合得出不等式的解集是解决问题的关键．