精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,BC是⊙O的直径,A是弦BD延长线上一点,切线DE平分AC于E。

(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若AD:DB=3:2,AC=15,求⊙O的直径。
(1)连接OD、CD,先根据切线的性质得到OD⊥DE,即∠1+∠2=90°,再根据圆周角定理可得∠BDC=90°,再结合E为AC的中点,根据直角三角形的性质可得DE=CE=AE=AC,即得∠2=∠3,根据元的基本性质可得∠1=∠4,即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°,从而证得结论;(2)

试题分析:(1)连接OD、CD,先根据切线的性质得到OD⊥DE,即∠1+∠2=90°,再根据圆周角定理可得∠BDC=90°,再结合E为AC的中点,根据直角三角形的性质可得DE=CE=AE=AC,即得∠2=∠3,根据元的基本性质可得∠1=∠4,即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°,从而证得结论;  
(2)分别证得△ACD∽△ABC与△ACD∽△BCD,根据相似三角形的性质可得,由AD:DB=3:2可设AD=3k,DB=2k,则AB=5k,即可求得结果.
(1)连接OD、CD

∵DE是⊙O的切线,切点为D
∴OD⊥DE于D
∴∠ODE=90°,即∠1+∠2=90°;
∵BC为⊙O的直径
∴∠BDC=90°
∴∠ADC=90°
∵E为AC的中点
∴DE=CE=AE=AC
∴∠2=∠3
∵⊙O中,OC=OD
∴∠1=∠4
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°
∴OC⊥AC于C
∴AC是⊙O的切线;
(2)∵∠ACD=∠BDC=90°,∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
同理:△ACD∽△BCD


∵AD:DB=3:2
∴设AD=3k,DB=2k,则AB=5k
∴①




.
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ长度的最小值是        

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=9cm,BC=12cm,P为BC的中点.动点Q从点P出发,沿射线PC方向以2cm/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t s.

(1)求点P到直线AB的距离;
(2)当t=1.8时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由;
(3)已知⊙O为△ABC的外接圆,若⊙P与⊙O相切,求t的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠C=50°,则∠OAB=    °.
 

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

同一圆中,对于下列命题: ①顶点在圆周上的角是圆周角;   ②圆周角的度数是圆心角度数的一半;   ③90°的圆周角所对的弦是直径;   ④不在同一条直线上的三个点确定一个圆;     ⑤同弧所对的圆周角相等。    正确的是
A.①④⑤B.②③⑤C.③④⑤D.②③④

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

两圆的半径为5和3,若圆心距为7,则两圆的位置关系是(     )
A.外离B.外切C.相交D.内切

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,点O在⊙A外,点P在线段OA上运动,以OP为半径的⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的(     )
A.外离;B.外切;C.相交;D.内含.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,正三角形ABC内接于⊙O,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于(      )

A.      B.     C.      D.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图所示,扇形AOB的圆心角为120°,半径为2,则图中阴影部分的面积为(     )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案