Question

已知方程（k-1）x²+2kx+k+3=0①．
（1）k取何值时，方程①有一个实数根；
（2）k取何值时，方程①有两个不相等的实数根；
（3）当方程①有两个相等的实数根时，求y²+（a-4k）y+a=0的整数根．（其中a为正整数）

Answer 1

分析：（1）方程是一元一次方程时，方程有一个实数根；
（2）方程有两个不相等的实数根，其根的判别式大于零；
（3）根据方程有两个相等的实数根求得k的值，代入新的方程中求a的值即可．

解答：解：（1）∵方程①有一个实数根，
∴k-1=0，
∴k=1，
∴k取1时，方程①有一个实数根；
（2）∵方程①有两个不相等的实数根；
∴b²-4ac=4k²-4（k-1）（k+3）＞0
解得：k＜

3

2

，
∵k-1≠0，
∴k≠1，
∴当k＜

3

2

且k≠1时，方程①有两个不相等的实数根；
（3）∵方程①有两个相等的实数根，
∴b²-4ac=4k²-4（k-1）（k+3）=0，
解得：k=

3

2

，
∴原方程为：y²+（a-6）y+a=0
解得y=

6-a

2

∴整数根为3，2，1．

点评：本题考查了根的判别式，是一道综合性的题目，需要同学们在理解的基础上正确的应用．