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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+cx轴交于点A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,2)

(1)求抛物线的表达式;

(2)抛物线的对称轴与x轴交于点M,点D与点C关于点M对称,试问在该抛物线的对称轴上是否存在点P,使△BMP与△ABD相似?若存在,请求出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)满足条件的点P的坐标为()或(,﹣)或(,5)或(,﹣5).

【解析】

(1)利用待定系数法求抛物线的表达式;

(2)使△BMP与△ABD相似的有三种情况,分别求出这三个点的坐标.

(1)∵抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),B(4,0),

∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4),

∵抛物线与y轴交于点C(0,2),

a×1×(﹣4)=2,

a=﹣

∴抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x﹣4)=﹣x2+x+2;

(2)如图1,连接CD,∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2,

∴抛物线的对称轴为直线x=

M(,0),∵点D与点C关于点M对称,且C(0,2),

D(3,﹣2),

MA=MB,MC=MD,

∴四边形ACBD是平行四边形,

A(﹣1,0),B(4,0),C(3,﹣22),

AB2=25,BD2=(4﹣1)2+22=5,AD2=(3+1)2+22=20,

AD2+BD2=AB2

∴△ABD是直角三角形,

∴∠ADB=90°,

设点P(,m),

MP=|m|,

M(,0),B(4,0),

BM=

∵△BMP与△ABD相似,

∴①当△BMPADB时,

m=±

P()或(,﹣),

②当△BMP∽△BDA时,

m=±5,

P(,5)或(,﹣5),

即:满足条件的点P的坐标为P()或(,﹣,5)或(,﹣5).

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