【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,2)
(1)求抛物线的表达式;
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点M,点D与点C关于点M对称,试问在该抛物线的对称轴上是否存在点P,使△BMP与△ABD相似?若存在,请求出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)满足条件的点P的坐标为(,)或(,﹣)或(,5)或(,﹣5).
【解析】
(1)利用待定系数法求抛物线的表达式;
(2)使△BMP与△ABD相似的有三种情况,分别求出这三个点的坐标.
(1)∵抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),B(4,0),
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4),
∵抛物线与y轴交于点C(0,2),
∴a×1×(﹣4)=2,
∴a=﹣,
∴抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x﹣4)=﹣x2+x+2;
(2)如图1,连接CD,∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2,
∴抛物线的对称轴为直线x=,
∴M(,0),∵点D与点C关于点M对称,且C(0,2),
∴D(3,﹣2),
∵MA=MB,MC=MD,
∴四边形ACBD是平行四边形,
∵A(﹣1,0),B(4,0),C(3,﹣22),
∴AB2=25,BD2=(4﹣1)2+22=5,AD2=(3+1)2+22=20,
∴AD2+BD2=AB2,
∴△ABD是直角三角形,
∴∠ADB=90°,
设点P(,m),
∴MP=|m|,
∵M(,0),B(4,0),
∴BM=,
∵△BMP与△ABD相似,
∴①当△BMP∽ADB时,
∴,
∴,
∴m=±,
∴P(,)或(,﹣),
②当△BMP∽△BDA时,
,
∴,
∴m=±5,
∴P(,5)或(,﹣5),
即:满足条件的点P的坐标为P(,)或(,﹣)或(,5)或(,﹣5).
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A(2,3),B(﹣3,n)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据所给条件,请直接写出不等式kx+b>的解集;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,求S△ABC.
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【题目】如图是由边长为的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,的顶点在格点.请选择适当的格点用无刻度的直尺在网格中完成下列画图,保留连线的痕迹,不要求说明理由.
(1)如图,作关于直线的对称图形;
(2)如图,作的高;
(3)如图,作的中线;
(4)如图,在直线上作出一条长度为个单位长度的线段在的上方,使的值最小.
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【题目】为了弘扬学生爱国主义精神,充分展现新时期青少年良好的思想道德素质和精神风貌,丰富学生的校园生活,陶冶师生的情操,某校举办了“中国梦爱国情成才志”中华经典诗文诵读比赛.九(1)班通过内部初选,选出了丽丽和张强两位同学,但学校规定每班只有1个名额,经过老师与同学们商量,用所学的概率知识设计摸球游戏决定谁去,设计的游戏规则如下:在A、B两个不透明的箱子分别放入黄色和白色两种除颜色外均相同的球,其中A箱中放置3个黄球和2个白球;B箱中放置1个黄球,3个白球,丽丽从A箱中摸一个球,张强从B箱摸一个球进行试验,若两人摸出的两球都是黄色,则丽丽去;若两人摸出的两球都是白色,则张强去;若两人摸出球颜色不一样,则放回重复以上动作,直到分出胜负为止.
根据以上规则回答下列问题:
(1)求一次性摸出一个黄球和一个白球的概率;
(2)判断该游戏是否公平?并说明理由.
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【题目】若正整数k满足个位数字为1,其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等,
我们称这样的数k为“言唯一数”,交换其首位与个位的数字得到一个新数k',并记F(k)=.
(1)最大的四位“言唯一数”是 ,最小的三位“言唯一数”是 ;
(2)证明:对于任意的四位“言唯一数”m,m+m'能被11整除;
(3)设四位“言唯一数”n=1000x+100y+10y+1(2≤x≤9,0≤y≤9且y≠1,x、y均为整数),若F(n)仍然为“言唯一数”,求所有满足条件的四位“言唯一数”n.
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【题目】已知:如图1,抛物线的顶点为M,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B(点A在点B左侧),根据对称性△AMB恒为等腰三角形,我们规定:当△AMB为直角三角形时,就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”.
(1)①如图2,求出抛物线的“完美三角形”斜边AB的长;
②抛物线与的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ;
(2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4,求a的值;
(3)若抛物线的“完美三角形”斜边长为n,且的最大值为-1,求m,n的值.
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【题目】在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从A点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.
(1)如图1,当t=3时,求DF的长.
(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值.
(3)连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时,求相应的t的值.
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