Question

如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=10，求DE的长度．

Answer 1

分析：根据∠EDC：∠EDA=1：3，可得△CDE∽△ADE，再由AC=10，求得DE．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=

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AC=5，OB=OD=

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2

BD=5，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC=67.5°，
∴∠ODC=∠OCD=67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=45°，
∴OE=DE，
∵OE²+DE²=OD²，
∴2DE²=OD²=25，
∴DE=

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2

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和矩形的性质，根据已知得出OE²+DE²=OD²是解题关键．