Question

如图，在直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C的坐标为（

3

，1）．求点A和点B的坐标．

Answer 1

考点：正方形的性质,坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据点C的坐标求出OE、CE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形的可得OD=CE，AD=OE，然后写出点A的坐标即可；设AB与y轴相交于点F，过点B作BG⊥y轴与G，求出∠DAO=30°，再利用勾股定理求出OA，根据两直线平行，内错角相等求出∠AOF=30°，解直角三角形求出AF、OF，再求出BF，然后解直角三角形求出BG、GF，然后求出OG，再写出点B的坐标即可．

解答：解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，
∵C点坐标为（

3

，1），
∴OE=

3

，CE=1，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∵∠AOD+∠COE=90°，
∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠COE，
在△AOD和△OCE中，

∠DAO=∠COE ∠ADO=∠OEC=90° OA=OC

，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OD=CE=1，AD=OE=

3

，
∴点A（-1，

3

）；
设AB与y轴相交于点F，过点B作BG⊥y轴与G，
∵tan∠DAO=

1

3

=

3

3

，
∴∠DAO=30°，
由勾股定理得，OA=

AD2+OD2

=

( 3 )2+12

=2，
∵AD∥y轴，
∴∠AOF=∠DAO=30°，
∴AF=AD•tan30°=2×

3

3

=

2 3

3

，
OF=2÷cos30°=2÷

3

2

=

4 3

3

，
∴BF=2-

4 3

3

，
在Rt△BGF中，BG=BF•cos30°=（2-

4 3

3

）×

3

2

=

3

-2，
GF=BF•sin30°=（2-

4 3

3

）×

1

2

=1-

2 3

3

，
∴OG=OF+GF=

4 3

3

+1-

2 3

3

=1+

2 3

3

，
∴点B的坐标为（

3

-2，1+

2 3

3

）．

点评：本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．