Question

13．如图，抛物线C₁：y₁=ax²+2ax（a＞0）与x轴交于点A，顶点为点P．
（1）直接写出抛物线C₁的对称轴是直线x=-1，用含a的代数式表示顶点P的坐标（-1，-a）；
（2）把抛物线C₁绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线C₂（其中m＞0），抛物线C₂与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．
①当m=1时，求线段AB的长；
②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由；
③当四边形APBQ为矩形时，请求出m与a之间的数量关系，并直接写出当a=3时矩形APBQ的面积．

Answer 1

分析 （1）将抛物线的一般形式化为顶点式，即可得出结论；
（2）①先求出点A的坐标，即可确定出AM，即可得出结论；
②先求出点B的坐标，进而表示出AP，BP，分三种情况建立方程求解即可；
③先得到四边形APBQ为平行四边形，再由矩形判断出△APH∽△PBH即可得出a²=2m+3，即可解答此题．

解答 解：（1）∵抛物线C₁：y₁=ax²+2ax=a（x+1）²-a，
∴x=-1，P（-1，-a）
故答案为：直线x=-1，（-1，-a），

（2）①由旋转知，MA=MB，
当y₁=0时，x₁=-2，x₂=0，
∴A（-2，0），
∴AO=2，
∵M（1，0），
∴AM=3，
∴AB=2MA=2×3=6；

②∵A（-2，0），AB=6，
∴B（4，0）
∵A（-2，0），P（-1，-a），
∴$AP=\sqrt{{1^2}+{{（-a）}^2}}=\sqrt{1+{a^2}}$，
$BP=\sqrt{25+{a^2}}$
当AB=AP时，1+a²=6²，解得：$a=\sqrt{35}$（负值已舍去）；
当AB=BP时，25+a²=6²，解得：$a=\sqrt{11}$（负值已舍去）；
当AP=BP时，1+a²=25+a²，不成立，
即当a 取$\sqrt{35}$或$\sqrt{11}$时，△ABP为等腰三角形；

③如图，过点P作PH⊥x轴于H，
∵点A与点B，点P与点Q均关于M点成中心对称，
故四边形APBQ为平行四边形，
当∠APB=90°时，四边形APBQ为矩形，
此时△APH∽△PBH，
∴$\frac{AH}{HP}=\frac{HP}{BH}$，
即$\frac{1}{a}=\frac{a}{2m+3}$，
∴a²=2m+3，
∴$m=\frac{1}{2}{a^2}-\frac{3}{2}$，
当a=3时，$m=\frac{1}{2}×{3^2}-\frac{3}{2}=3$，
∴S=（2m+4）a=（2×3+4）×3=30．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标的确定，旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解（2）①的关键是得出AM的长，解（2）②的关键是分类讨论，用等腰三角形的腰建立方程，解（2）③的关键是得出△APH∽△PBH，是一道中等难度的题目．