Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF；

（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）求证：AB=CE+BF；
（3）若∠CAE=30°，求∠ACF度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠ABC=90°，

∴∠ABE=∠CBF=90°，

在Rt△ABE和Rt△CBF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）

（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴AB=BC，BE=BF，

∵BC=BE+CE，

∴AB=CE+BF

（3）∵AB=CB，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∠CAB=∠CAE+∠EAB，

∴∠BCA=∠BAC=45°，

∴∠EAB=15°，

∵Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠EAB=∠FCB，

∴∠FCB=15°，

∴∠ACF=∠FCB+∠BCA=15°+45°=60°，

即∠ACF=60°

【解析】（1）易由由所给条件已有“HL”得到Rt△ABE≌Rt△CBF。
（2）由（1）得Rt△ABE≌Rt△CBF，可由等量代换得到AB=CE+BF；
（3）由等腰直角三角形性质易得∠BCA=∠BAC=45°题干给了∠CAE=30°，所以易得∠EAB=15°，由（1）中相似可知∠FCB=15°即∠ACF=60°