Question

6．已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任一点．

（1）如图（1），若∠A=45°，AB=$\sqrt{6}$，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长．
（2）如图（2），若2∠AEB=180°-∠BED，∠ABE=60°，求证：BC=BE+DE
（3）如图（3），若点E在的CB延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论．

Answer 1

分析 （1）首先证明△AFB与△EFD为等腰直角三角形，然后在△ABF中依据勾股定理可求得BF和AF的长，从而得到DF的长，然后在Rt△EDF中，可求得DE的长；
（2）延长DE至K，使EK=EB，联结AK．首先证明∠AEB=∠AEK，然后依据SAS证明△AEB≌△AEK，由全等三角形的性质可得到可等边三角形的判断定理可证明△AKD为等边三角形，于是得到KD=BC，通过等量代换可得到问题的答案；
（3）记AB与DE的交点为O．首先证明依据菱形的性质可得到∠ABC=2∠ABD，然后依据平行四边形的性质可证明∠CDE=∠BOE，最后依据三角形外角的性质可得到问题的答案．

解答 解：（1）如图1所示：

∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=$\sqrt{6}$，AB∥CD．
∴∠A=∠ADE=45°．
∵AD⊥BE，
∴∠AFB=DFE=90°．
∴△AFB与△EFD为等腰直角三角形．
∴BF²+AF²=AB²，即：2BF²=6，
∴BF=AF=$\sqrt{3}$．
∵△EFD为等腰直角三角形，
∴EF=DF=AD-AF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．
∴DE=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$（$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$．
（2）如图2所示：延长DE至K，使EK=EB，联结AK．

∵2∠AEB=180°-∠BED，
∴∠BED=180°-2∠AEB=180°-∠AEB-∠AEK．
∴∠AEB=∠AEK．
在△AEB和△AEK中$\left\{\begin{array}{l}{BE=KE}\\{∠AEB=AEK}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AEK．
∴∠K=∠ABE=60°，Ak=AB．
又∵AB=AD，
∴AK=AE．
∴△AKD为等边三角形．
∴KD=AD．
∴KD=BC．
∵KD=KE+DE，
∴CB=EB+DE．
（3）如图3所示：记AB与DE的交点为O．

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥DC，∠ABC=2∠ABD．
∴∠CDE=∠BOE．
∵∠ABC=∠BED+∠EOB，
∴2∠ABD=∠BED+∠CDE．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判断、平行线的性质、三角形外角的性质，掌握问题中辅助线的做法，并征得△AKD为等边三角形是解题的关键．