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6.已知四边形ABCD为菱形,连接BD,点E为菱形ABCD外任一点.

(1)如图(1),若∠A=45°,AB=$\sqrt{6}$,点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点,BE,AD交于点F,求DE的长.
(2)如图(2),若2∠AEB=180°-∠BED,∠ABE=60°,求证:BC=BE+DE
(3)如图(3),若点E在的CB延长线上时,连接DE,试猜想∠BED,∠ABD,∠CDE三个角之间的数量关系,直接写出结论.

分析 (1)首先证明△AFB与△EFD为等腰直角三角形,然后在△ABF中依据勾股定理可求得BF和AF的长,从而得到DF的长,然后在Rt△EDF中,可求得DE的长;
(2)延长DE至K,使EK=EB,联结AK.首先证明∠AEB=∠AEK,然后依据SAS证明△AEB≌△AEK,由全等三角形的性质可得到可等边三角形的判断定理可证明△AKD为等边三角形,于是得到KD=BC,通过等量代换可得到问题的答案;
(3)记AB与DE的交点为O.首先证明依据菱形的性质可得到∠ABC=2∠ABD,然后依据平行四边形的性质可证明∠CDE=∠BOE,最后依据三角形外角的性质可得到问题的答案.

解答 解:(1)如图1所示:

∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=AB=$\sqrt{6}$,AB∥CD.
∴∠A=∠ADE=45°.
∵AD⊥BE,
∴∠AFB=DFE=90°.
∴△AFB与△EFD为等腰直角三角形.
∴BF2+AF2=AB2,即:2BF2=6,
∴BF=AF=$\sqrt{3}$.
∵△EFD为等腰直角三角形,
∴EF=DF=AD-AF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$.
∴DE=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$($\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$)=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$.
(2)如图2所示:延长DE至K,使EK=EB,联结AK.

∵2∠AEB=180°-∠BED,
∴∠BED=180°-2∠AEB=180°-∠AEB-∠AEK.
∴∠AEB=∠AEK.
在△AEB和△AEK中$\left\{\begin{array}{l}{BE=KE}\\{∠AEB=AEK}\\{AE=AE}\end{array}\right.$,
∴△AEB≌△AEK.
∴∠K=∠ABE=60°,Ak=AB.
又∵AB=AD,
∴AK=AE.
∴△AKD为等边三角形.
∴KD=AD.
∴KD=BC.
∵KD=KE+DE,
∴CB=EB+DE.
(3)如图3所示:记AB与DE的交点为O.

∵四边形ABCD为菱形,
∴AB∥DC,∠ABC=2∠ABD.
∴∠CDE=∠BOE.
∵∠ABC=∠BED+∠EOB,
∴2∠ABD=∠BED+∠CDE.

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用,解答本题主要应用了菱形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判断、平行线的性质、三角形外角的性质,掌握问题中辅助线的做法,并征得△AKD为等边三角形是解题的关键.

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