Question

（1）如图1，在等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，BA=BC，DE=DC，点E在AC上，M为AE中点，连接BD．探究∠MBD与∠ABC之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），其他条件不变，（1）中的结论是否成立，说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长DE交AB于点G，连接GM，易证四边形BCDG为矩形，可得DG=BC=AB，∠AGE=90°，即可求得AM=GM，∠MGE=45°，即可证明△AMB≌△GMD，可得∠AMB=∠GMD，MB=MD，即可判定△BMD是等腰直角三角形，可得∠MBD=45°，即可解题；
（2）取AC，EC中点K、H，连接BK，MK，MH，DH，MD，易证MK=DH，KB=MH，∠BKM=∠MHD，即可证明△BKM≌△MHD，可得∠MBK=∠HMD，即可求得∠BMD=90°，即可解题．

解答：证明：（1）延长DE交AB于点G，连接GM，

∵AB=BC，CD=DE，
∴∠ACB=∠DCE=45°，∴∠BCD=90°，∵∠ABC=∠CDE=90°，
∴四边形BCDG为矩形，
∴DG=BC=AB，∠AGE=90°，
∵∠A=45°，M是AE中点，
∴AM=GM，∠MGE=45°，
在△AMB和△GMD中，

AM=GM ∠A=∠MGE=45° AB=GD

，
∴△AMB≌△GMD（SAS），
∴∠AMB=∠GMD，MB=MD，
∵∠AMB=∠AMG+∠BMG，∠GMD=∠BMG+∠BMD，
∴∠BMD=∠AMG=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，
∴∠MBD=45°，
∴∠MBD=

1

2

∠ABC；
（2）取AC，EC中点K、H，连接BK，MK，MH，DH，MD，

∵M是AE中点，K是AC中点，H是CE中点．
∴MK=

1

2

CE，BK=

1

2

AC，MH=

1

2

AC，DH=

1

2

CE，
∴MK=DH，KB=MH，
∵∠AKM=∠ACE=∠MHE，∠AKB=∠EHD=90°，
∴∠BKM=∠MHD，
在△BKM和△MHD中，

MK=DH ∠BKM=∠MHD KB=MH

，
∴△BKM≌△MHD，（SAS）
∴∠MBK=∠HMD，
∵∠BGK=∠BMH，∠BGK+∠MBK=90°，
∴∠BMH+∠HMD=90°，
∴∠BMD=90°，
∴∠MBD=∠MDB=45°=

1

2

∠ABC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AMB≌△GMD和△BKM≌△MHD是解题的关键．