分析 （1）先求出直线y=kx+k的解析式，再求出B点坐标，然后根B、C两点坐标求出抛物线解析式；
（2）将△FBC的面积表示成x的二次函数S△FBC=3（x2+5x+4），根据x的取值求出最大值；
（3）PE平分∠BPQ，QE平分∠PQD，则∠PEQ=60°，根据“一线三等角”相似模型，可得出△PBE∽△EDQ，根据相似比例关系列出方程，求解即可；
解答 解：（1）∵直线y=kx+k过点C（-4，3），
∴3=-4k+k，
∴k=-1，
∴y=-x-1，
令y=0，则x=-1，
∴B（-1，0），
将B（-1，0）、（-4，3）代入抛物线解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{16-4b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3；
（2）如图1，作FD⊥BC于D，FE⊥x轴交直线BC于F，
由直线y=-x-1可知∠ABC=45°，
∴∠DEF=45°，
设P（x，x2+4x+3），
∴E（x，-x-1），
∴EF=（x2+4x+3）-（-x-1）=x2+5x+4，
∴DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x2+5x+4），
∵B（-1，0）、C（-4，3），
∴BC=$\sqrt{（-4+1）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴S△FBC=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x2+5x+4）=$\frac{3}{2}$（x2+5x+4），
∵-3≤x≤12，
∴当x=12时，△FBC的面积最大，最大面积=312；
（3）如图2，∵BC=DC，∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CDB=∠CBD=60°，
∵PE平分∠BPQ，同时QE平分∠PQD，
∴∠QPE=∠BPE，∠PQE=∠DQE，
∵∠PEQ=90°-$\frac{1}{2}$∠PCQ=90°-$\frac{1}{2}$×60°=60°，
∵∠PQE=∠DQE，∠PEQ=∠CDB=60°，∠QPE=∠BPE，∠PEQ=∠CBD=60°，
∴△DQE∽△EQP∽△BEP，
∴$\frac{DQ}{BE}$=$\frac{DE}{PB}$，
∵BC=3$\sqrt{2}$，CP=t，DQ=2t，
∴BP=3$\sqrt{2}$-t，
∴$\frac{2t}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{2}-t}$，
整理得，4t2-12$\sqrt{2}$t+9=0，
解得t1=$\frac{3\sqrt{2}+3}{2}$（舍去），t2=$\frac{3\sqrt{2}-3}{2}$
∴PB=3$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}-3}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}+3}{2}$，
∴P（-$\frac{10+3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$）．
点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的最值，三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，（3）证得△PBE∽△EDQ是解题的关键．
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