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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且12a+5c=0．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动．
    ①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
    ②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是精英家教网平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据已知条件，结合正方形的性质求出A、B点的坐标，利用一般式根据待定系数法求解．
    （2）①用t表示出PB、BQ的长，利用勾股定理建立起它们之间的关系；
    ②利用①中关系式，根据非负数的性质求出S取最小值时的t的取值，计算出PB、BQ的长，然后根据R的位置进行分类讨论．
    解答：解：（1）据题意知：A（0，-2），B（2，-2）
    ∵A点在抛物线上，
    ∴c=-2
    ∵12a+5c=0，
    ∴a=
    5
    6
    （1分）
    由AB=2知抛物线的对称轴为：x=1
    即：-
    b
    2a
    =1，b=-
    5
    3

    ∴抛物线的解析式为：y=
    5
    6
    x2-
    5
    3
    x-2．（3分）

    （2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
    ∴S=PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2（4分）
    即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）．（5分）
    ②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，
    ∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
    ∴S=5（t-
    4
    5
    ）2+
    4
    5
    （0≤t≤1），
    ∴当t=
    4
    5
    时，S取得最小值
    4
    5
    ．（6分）
    这时PB=2-
    8
    5
    =0.4，BQ=0.8，P（1.6，-2），Q（2，-1.2）．（7分）
    分情况讨论：
    （A）假设R在BQ的右边，这时QR=∥PB，则：
    R的横坐标为2.4，R的纵坐标为-1.2，即（2.4，-1.2），
    代入y=
    5
    6
    x2-
    5
    3
    x-2，左右两边相等，
    ∴这时存在R（2.4，-1.2）满足题意．（8分）
    （B）假设R在BQ的左边，这时PR=∥QB，
    则：R的横坐标为1.6，纵坐标为-1.2，即（1.6，-1.2）
    代入y=
    5
    6
    x2-
    5
    3
    x-2，左右两边不相等，R不在抛物线上．（9分）
    （C）假设R在PB的下方，这时PR=∥QB，
    则：R（1.6，-2.8）代入y=
    5
    6
    x2-
    5
    3
    x-2，左右不相等，R不在抛物线上．
    综上所述，存在一点R（2.4，-1.2）满足题意．（10分）
    点评：此题主要考查二次函数的有关知识，是一个典型的动点问题．作为一个压轴题，综合性强，难度较大，并运用了分类讨论思想．
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    9x
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    （1）在图中标出点M，N的位置，并分别写出点M，N的坐标：
     
    ．
    （2）请你依次连接M、N和第三次跳后的点，组成一个封闭的图形，并计算这个图形的面积；
    （3）猜想一下，经过第2009次跳动之后，棋子将落到什么位置．

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    ．

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    （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
    （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
    （3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P'，请直接写出P'点坐标，并判断点P'是否在该抛物线上．

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