Question

20．已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC=60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG=60°，连接CG，当点E在线段BC上是（如图1）易证：AB=CG+CE．
（1）当点E线段BC的延长线上时（如图2），猜想AB、CG、CE之间的关系并证明；
（2）当点E线段CB的延长线上时（如图3），猜想AB、CG、CE之间的关系．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质可知：AE=AG，∠DAG=∠CAE．从而可证△ACE≌△ADG，利用全等三角形的性质即可得出AB、CG、CE之间的关系．
（2）同理可证△ACG≌△ABE（SAS），利用全等三角形的性质即可得出AB、CG、CE之间的关系．

解答 解：（1）AB=CG-CE
∵AC是菱形ABCD的对角线且∠BAC=60°，
∴AC=AD．
∵四边形AEFG菱形，
∴AE=AG．
∵∠DAC=∠GAE=60°，
∴∠DAG=∠CAE．
在△ACE与△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠CAE=∠DAG}\\{AC=AD}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△ADG（SAS），
∴CE=DG．．
∴AB=CD=CG-DG=CG-CE

（2）AB=CE-CG．
同理可证△ACG≌△ABE（SAS），
∴BE=CG．
∴AB=CB=CE-BE=CE-CG．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质，涉及全等三角形的性质与判定方法，菱形的性质，等式的性质，本题属于中等题型．