Question

【题目】如图，在△ ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF ∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥ AC于D，下列四个结论：①EF = BE+CF；②∠BGC= 90 °+∠A；③点G到△ ABC各边的距离相等；④设GD =m，AE + AF =n，则S△AEF=mn.其中正确的结论有（ ）

A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据BG，CG分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF ∥BC，可得EB=EG，FG=FC，从而证得①正确；根据三角形内角和定理即可求出②正确；根据角平分线的性质可知点G是△ABC的内心，从而可得③正确；连接AG，结合点G是内心，即可表示出△AEG和△AFG的面积，从而可知④正确.

∵BG，CG分别是∠ABC和∠ACB的平分线，

∴∠EBG=∠GBC，∠FCG=∠GCB

∵EF ∥BC

∴∠EGB=∠GBC，∠FGC=∠GCB

∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠FGC

∴EB=EG，FG=FC

∴EF = BE+CF

故①正确；

在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）

在△GBC中，，

即

所以②正确；

∵点G是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，

∴点G是△ABC的内心

∴点G到△ABC各边的距离相等

故③正确；

连接AG，

∵点G到△ABC各边的距离相等，GD=m,AE+AF=n，

∴

故④正确；

综上答案选D.