Question

如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，过点E作AE的垂线交正方形∠BCD的外角的平分线L于点M，
（1）判断线段AE、ME的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，连接AM交CD于点N，连接NE，求证：NE=BE+DN；
（3）如图3，若E点在BC的延长线上，连接AM交射线CD于点N，连接NE，并且NE=13，CN=12，求线段MC的长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）在AB上截取AM=EC，然后证明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角边角”证明△AEM和△EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）延长CB到F，使BF=DN，连结AF，△ABF≌△ADN就可以得出AF=AN，∠BAF=∠DAN，由AE=ME，∠AEM=90°就可以得出∠EAN=45°，就有∠BAE+∠DAN=45°，从而得到∠FAE=∠EAN，再证明△FAE≌△NAE，就可以得出EF=EN．进而可以得出结论；
（3）连结AC，在BC上取点F，使BF=DN，由正方形的性质就可以得出△ABF≌△ADN，就可以得出AF=AN，∠BAF=∠DAN，就看由得出∠FAE=∠NAE，就可以得出△FAE≌△NAE，就有EF=EN，就可以得出BE=EN+DN，设BC=CD=x，就有DN=12-x，根据勾股定理就可以求出CE=5，就可以建立方程求出BC的值，由勾股定理就可以求出AE、AC的值，再由勾股定理就可以求出AM的值，进而求出CM的值．

解答：（1）证明：如图1，取AB的中点H，连接EH；
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC=CD，
∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
∵E是BC的中点，H是AB的中点，
∴BH=BE，AH=CE，
∴∠BHE=45°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
在△AHE和△ECF中，

∠1=∠2 AH=EC ∠AHE=∠ECF

，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）证明：如图2，延长CB到F，使BF=DN，连结AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，
∴∠ABF=90°．
∴∠ABF=∠D．
∵AE=ME，∠AEM=90°，
∴∠EAN=45°，
∴∠BAE+∠DAN=45°．
在△ABF和△ADN中，

AB=AD ∠ABF=∠D BF=DN

，
∴△ABF≌△ADN（SAS），
∴AF=AN，∠BAF=∠DAN，
∴∠BAE+∠BAF=∠FAE=45°，
∴∠FAE=∠NAE．
在△FAE和△NAE中，

AF=AN ∠FAE=∠NAE AE=AE

，
∴△FAE≌△NAE（SAS），
∴EF=EN．
∵EF=BF+BE，
∴EF=BE+DN，
∴EN=BE+DN；
（3）解：如图3，连结AC，在BC上取点F，使BF=DN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABC=∠D=∠BAD=∠BCD=90°，∠BAC=∠ACN=45°．
∴∠DCE=90°．
∵AE=ME，∠AEM=90°，
∴∠EAN=45°，
在△ABF和△ADN中

AB=AD ∠ABC=∠D BF=DN

，
∴△ABF≌△ADN（SAS），
∴AF=AN，∠BAF=∠NAD．
∵∠DAE+∠NAD=45°，
∴∠DAE+∠BAF=45°，
∴∠FAE=45°，
∴∠FAE=∠NAE．
在△FAE和△NAE中

AF=AN ∠FAE=∠NAE AE=AE

，
∴△FAE≌△NAE（SAS），
∴EF=EN．
∵BE=BF+EF，
∴BE=DN+EN．
在Rt△NCE中，CN=12，NE=13，由勾股定理，得
EC=5．
设BC=CD=x，就有DN=12-x．
∴x+5=13+12-x，
∴x=10．
∴AB=BC=10，BE=15
在Rt△ABC、Rt△ABE中，由勾股定理，得
AC=10

2

，AE=5

13

．
在Rt△AEM中，由勾股定理，得
AM=5

26

．
∵CM平分∠NCE，
∴∠NCM=

1

2

∠NCE=45°，
∴∠NCE+∠ACN=∠ACM=90°．
在Rt△ACM中，由勾股定理，得
CM=15

2

．
答：CM的长为15

2

．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时运用等腰直角三角形的性质和证明三角形的全等是关键．