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    【题目】在中，，是边上的动点，连结.

    （1）如图，若，，求的长；

    （2）如图，若，是的中点，把绕点顺时针旋转度（）后得到，连结，点是中点.求证：是等边三角形.

    【答案】(1)；(2)证明见解析.

    【解析】

    （1）证明△ADC∽△BAC，通过比例式进行求解；

    （2）连接BE、DF、CF，根据三角函数得出∠CAD=∠BAD=60°，先后证明△BAE≌△FAD、△EBG≌△DFG，利用等边三角形的判定方法说明△DEG是等边三角形．

    (1)如图1，在和中，

    ，，

    ∴.

    ∴.

    ∴.

    ∵，，

    ∴.

    (2)如图2，连结、、，

    ∵，是的中点，，

    ∴，.

    ∴.

    ∴.

    ∵把绕点顺时针旋转度后得到，

    ∴，，.

    ∴，

    ∴，

    ∴，.

    又∵，

    ∴.

    ∴.

    又∵，，

    ∴，

    ∴.

    ∵，，

    ∴，.

    ∴.

    ∴.

    ∵，，

    ∴

    ∴，

    又∵，

    ∴.

    ∴是等边三角形.

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    【题目】已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．

    （1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；

    （2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．

    ①依题意补全图2；

    ②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】茗阳阁位于河南省信阳市狮河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日.是一栋由多种中国建筑元素，由雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多种形式的中国古代建筑元素汇聚而成，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼.茗阳阁是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，同时茗阳阁旁的风景也是优美至极.某数学课外兴趣小组为了测量建在山丘上的茗阳阁的高度，在山脚下的广场上处测得建筑物点（即山顶）的仰角为20°，沿水平方向前进20米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为45°，已知山丘高37.69米.求塔的高度.（结果精确到1米，参考数据：）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D的最小值是_____．

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    【题目】问题探究：

    （1）已知：如图①，△ABC中请你用尺规在BC边上找一点D，使得点A到点BC的距离最短．

    （2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图②，P是正△ABC外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C重合），请你根据托勒密（Ptolemy）定理证明：PA=PB+PC

    问题解决：

    （3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由．

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    【题目】某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元．

    （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

    （2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？

    （3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？

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    【题目】一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“ 香”、“ 历”、“ 城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．

    （1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是 “书”的概率为__________.

    （2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“历城”的概率．

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