Question

4．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则$\frac{MO}{MF}$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根据三角形的重心性质可得OC=$\frac{2}{3}$CE，根据直角三角形的性质可得CE=AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM=$\frac{1}{2}$CE，进一步得到OM=$\frac{1}{6}$CE，即OM=$\frac{1}{6}$AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE，MF=$\frac{1}{2}$EF，依此得到MF=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AE，从而得到$\frac{MO}{MF}$的值．

解答 解：∵点O是△ABC的重心，
∴OC=$\frac{2}{3}$CE，
∵△ABC是直角三角形，
∴CE=BE=AE，
∵∠B=30°，
∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，
∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，
∴CM=$\frac{1}{2}$CE，
∴OM=$\frac{2}{3}$CE-$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{6}$CE，即OM=$\frac{1}{6}$AE，
∵BE=AE，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=60°，
∴∠FEM=30°，
∴MF=$\frac{1}{2}$EF，
∴MF=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AE，
∴$\frac{MO}{MF}$=$\frac{\frac{1}{6}AE}{\frac{\sqrt{3}}{6}AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 考查了三角形的重心，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，关键是得到OM=$\frac{1}{6}$AE，MF=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AE．