Question

11．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC上，DE∥AB交AC于E，点F为AB中点，连接EF．若EF⊥AD，AO=3，则OD=2．

Answer 1

分析 延长EF到G，使FG=EF，连接BG，过C作CH∥EF交BG于H，通过△AEF≌△BGF，得到BG=AE，∠EAF=∠FBG，证得四边形ECHG是平行四边形，得到CE=GH，通过证明△ACD≌△BCH，得到CD=BH，证得△CDE是等腰直角三角形，得到CD=CE，于是得到CD=CE=$\frac{1}{3}$AC，由于△AOE∽△ACD，求得OE=1，然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：延长EF到G，使FG=EF，连接BG，过C作CH∥EF交BG于H，
在△AEF与△BGF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=BF}\\{∠AFE=∠BFG}\\{EF=FG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BGF，
∴BG=AE，∠EAF=∠FBG，
∴AE∥BG，
∴四边形ECHG是平行四边形，
∴CE=GH，
∵EF⊥AD，
∴CH⊥AD，
∴∠CAD+∠ACH=∠ACH+∠HCB=90°，∴∠CAD=∠BCH，
在△ACD与△BCH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠BCH=90°}\\{∠CAD=∠BCH}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCH，
∴CD=BH，
∵DE∥AB，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=CE，
∴BH=HG=$\frac{1}{2}$BH，
∴CD=CE=$\frac{1}{3}$AC，
∵∠AOE=∠ACD=90°，∠EAO=∠DAC，
∴△AOE∽△ACD，
∴$\frac{OE}{AO}=\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴OE=1，
∴AE=$\sqrt{A{O}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AC=$\frac{3}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，CD=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∴OD=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．