Question

【题目】如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．

（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；

（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：，求证：∠MOF＝∠EFO．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据中位线定理得：DG∥BC，，则DG=BC，DE∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形DEFG是平行四边形；

（2）先根据已知的比的关系设未知数：设BE=2x，CF=3x，，根据勾股定理的逆定理得：∠EOF=90°，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得OM=FM，由等边对等角可得结论．

解：（1）∵D是AB的中点，G是AC的中点，

∴DG是△ABC的中位线，

∴DG∥BC，DG＝BC，

同理得：EF是△OBC的中位线，

∴EF∥BC，EF＝BC，

∴DG＝EF，DG∥EF，

∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）∵BE：CF：DG＝2：3：，

∴设BE＝2x，CF＝3x，DG＝，

∴OE＝2x，OF＝3x，

∵四边形DEFG是平行四边形，

∴DG＝EF＝，

∴OE2+OF2＝EF2，

∴∠EOF＝90°，

∵点M为EF的中点，

∴OM＝MF，

∴∠MOF＝∠EFO．