Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线y=-x²+bx+c在第一象限内的部分记为图象G，如果过点P（-3，4）的直线y=mx+n（m≠0）与图象G有唯一公共点，请结合图象，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点A、B坐标代入二次函数解析式即可求得；
（2）如图，先求出直线PB解析式．从而知其与y轴的交点E，由图象知过点P的直线与y轴交点在C、E（含点C，不含点E）之间时，与图象G有唯一公共点，据此解答可得．

解答 解：（1）将A、B两点的坐标代入抛物线的表达式中，
得：$\left\{{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=-x²+2x+3．

（2）设抛物线y=-x²+2x+3与y轴交于点C，则点C的坐标为（0，3）．

抛物线y=-x²+2x+3的顶点坐标为（1，4）．
设直线PB解析式为y=kx+b，
将点P（-3，4）、B（3，0）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴直线PB的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+2$，
∴与y轴交于点E（0，2）．
∵直线PD平行于x轴，
∴与y轴交于点F（0，4）．
由图象可知，当过点P的直线与y轴交点在C、E（含点C，不含点E）之间时，与图象G有唯一公共点，
另外，直线PD与图象G也有唯一公共点，
但此时m=0．
∴n的取值范围是2＜n≤3．

点评 本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数图象上的点的坐标特征，根据函数图象得出过点的直线与图象G有唯一公共点时，与y轴交点的范围是解题的关键，