Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,△ABD是等边三角形
小题1:如图1, E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.
求证：① △AEF≌△BEC；
② 四边形BCFD是平行四边形；
小题2:如图2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.

Answer 1

小题1:① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,
∴ ∠ABC=60°.
在等边△ABD中，∠BAD=60°, ∴ ∠BAD=∠ABC="60°" .      
∵ E为AB的中点，∴ AE=BE.                                
又∵ ∠AEF=∠BEC ,  ∴ △AEF≌△BEC                      3分
② 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点
∴ CE=AB,BE=AB， ∴ ∠BCE=∠EBC="60°" .                          
又∵ △AEF≌△BEC,  ∴ ∠AFE=∠BCE="60°" .
又∵ ∠D=60°, ∴ ∠AFE=∠D=60° ∴ FC∥BD      
又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，∴ AD∥BC，即FD∥BC                
∴ 四边形BCFD是平行四边形.
小题2:

① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,
∴ ∠ABC=60°.
在等边△ABD中，∠BAD=60°, ∴ ∠BAD=∠ABC="60°" .      
∵ E为AB的中点，∴ AE=BE.                                
又∵ ∠AEF=∠BEC ,  ∴ △AEF≌△BEC                      3分
② 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点
∴ CE=AB,BE=AB， ∴ ∠BCE=∠EBC="60°" .                          
又∵ △AEF≌△BEC,  ∴ ∠AFE=∠BCE="60°" .
又∵ ∠D=60°, ∴ ∠AFE=∠D=60° ∴ FC∥BD      
又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，∴ AD∥BC，即FD∥BC                
∴ 四边形BCFD是平行四边形.
（2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30° ∴∠CAH=90°
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC =a
∴ AB=2BC=2a，∴ AD=AB=2a.
设AH =" x" ，则 HC=HD=AD-AH=2a-x.           
在Rt△ABC中，AC²=(2a) ²-a²=3a².
在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=(2a-x) ².
解得 x=a，即AH=a.
∴ HC=2a-x=2a-a=a