Question

6．（1）如图①，在△ABC中，AB=AC，AC边上的高BD=10cm，求AB边上的高CE的长．
（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，AC边上的高AD=10cm，P为BC边上任一点，PA⊥AB于N，求PM+PN的值．
（3）如图③，在△ABC中，AB=AC，AC边上的高BD=10cm，P为BC延长线上一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，在PM+PN，PM-PN中一个为定值，判断出来并求其值．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，由AAS证明△BCE≌△CBD，得出CE=BD=10cm即可；
（2）作PE⊥BD于E，证出四边形PNDE是矩形，得出PN=DE，证出∠ABC=∠BPE，由AAS证明△BPM≌△PNE，得出PM=BE，即可得出结果；
（3）作CG⊥PM于M，CH⊥AB于H，则四边形MHCG是矩形，得出CH=GM，CG∥AB，由平行线的性质和对顶角相等得出∠PCG=∠PCN，由AAS证明△PCG≌△PCN，得出PN=PG，由（1）得：CH=BD，得出GM=BD=10cm，即可得出结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE分别是△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
在△BCE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠CDB}&{\;}\\{∠ABC=∠ACB}&{\;}\\{BC=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CBD（AAS），
∴CE=BD=10cm；
即AB边上的高CE的长为10cm；
（2）作PE⊥BD于E，如图1所示：
∵BD⊥AC，PN⊥AC，
∴BD∥PN，四边形PNDE是矩形，
∴PN=DE，
∴∠BPE=∠ACB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠BPE，
在△BPM和△PNE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PMB=∠BEP}&{\;}\\{∠ABC=∠BPE}&{\;}\\{BP=PB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPM≌△PNE（AAS），
∴PM=BE，
∴PM+PN=BE+DE=BD=10cm；
（3）PM-PN为定值10cm；理由如下：
作CG⊥PM于M，CH⊥AB于H，如图2所示：
∵PM⊥AB，
∴四边形MHCG是矩形，
∴CH=GM，CG∥AB，
∴∠ABC=∠PCG，
∵∠PCN=∠ACB=∠ABC，
∴∠PCG=∠PCN，
在△PCG和△PCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PCG=∠PCN}&{\;}\\{∠PGC=∠PNC=90°}&{\;}\\{PC=PC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PCG≌△PCN（AAS），
∴PN=PG，
由（1）得：CH=BD，
∴GM=BD=10cm，
∴PM-PN=PM-PG=GM=10cm；
即PM-PN为定值，定值为10cm．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．