Question

1．（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线$y=\frac{1}{2}x+3$与抛物线y=x²相交于点A、B，与x轴交于点C，A点横坐标为x₁，B点横坐标为x₂（x₁＜x₂），C点横坐标为x₃．请你计算$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$与$\frac{1}{x_3}$的值，并判断它们的数量关系．
（2）在数学的世界里，有很多结论的形式是统一的，这也体现了数学的美．请你在下列两组条件中选择一组，证明$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$与$\frac{1}{x_3}$仍具有（1）中的数量关系．
①如图2，∠APC=120°，PB平分∠APC，直线l与PA、PB、PC分别交于点A、B、C，PA=x₁，PC=x₂，PB=x₃．
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，过点A（x₁，0）、B（0，x₂）作直线l，与直线y=x交于点C，点C横坐标为x₃．

Answer 1

分析 （1）根据解方程组，可得x₁，x₂，根据自变量与函数值的对应关系，可得x₃，根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据等腰三角形的判定与性质，可得PE，根据相似三角形的判定与性质，可得$\frac{x_3}{x_1}=\frac{{{x_2}-{x_3}}}{x_2}$，根据等式的性质，可得答案；
（3）根据三角形面积的和差，$\frac{1}{2}{x_2}{x_3}+\frac{1}{2}{x_1}{x_3}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$，根据等式的性质，可得答案．

解答 （1）解：由题意可得${x^2}=\frac{1}{2}x+3$．
∵x₁＜x₂，
∴${x_1}=-\frac{3}{2}$，x₂=2． 
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{1}{6}$．
∵直线$y=\frac{1}{2}x+3$与x轴交于点C，C点横坐标为x₃，
∴x₃=-6．
∴$\frac{1}{x_3}=-\frac{1}{6}$．
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_3}$．
（2）①证明：如图1，
，
过点B作BE∥PA交PC于点E．
∴△BEC∽△APC．
由PB平分∠APC，∠APC=120°，可得△PBE是等边三角形．
∴BE=PE=PB=x₃．
∴EC=x₂-x₃．
∵$\frac{BE}{AP}=\frac{EC}{PC}$，
∴$\frac{x_3}{x_1}=\frac{{{x_2}-{x_3}}}{x_2}$．
∴x₂x₃+x₁x₃=x₁x₂．
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_3}$．
②解：过点C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，如图2，
．
∵点C在直线y=x上，且横坐标为x₃，
∴点C（x₃，x₃）．
∴CE=CD=x₃．
∵S_△BOC+S_△AOC=S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}{x_2}{x_3}+\frac{1}{2}{x_1}{x_3}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$．
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_3}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用解方程组得出x₁，x₂是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出$\frac{x_3}{x_1}=\frac{{{x_2}-{x_3}}}{x_2}$是解题关键；利用面积的和差得出$\frac{1}{2}{x_2}{x_3}+\frac{1}{2}{x_1}{x_3}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$是解题关键．