Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中,点的坐标是．图1中，点为正方形的对称中心，顶点分别在轴和轴的正半轴上,则___ 图2中,点为正的重心，顶点分别在轴和轴的正半轴上，则___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作AM⊥x轴于点M，证明△ADM≌△DCO，得出C点坐标，根据中点坐标求出点P坐标，运用勾股定理求出OP的长；通过证明△BHD∽△AGD，△DPQ∽△DBH，△DPQ∽△DAG，求出相应线段的长度，得到点P的坐标，运用勾股定理即可得到OP的长．

如图，作AM⊥x轴于点M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°

∵

又CD=AD

∴△ADM≌△DCO

∴CO=DM，OD=AM，

∵A（4，3）

∴AM=3，OM=4，

∴DM=OM-OD=OM-AM=4-3=1，

∴OC=DM，

即C（0，1）

∵点为正方形的对称中心，

∴P(，)，即P(2，2)

∴；

（2）过B点作BD⊥AC于点D，

∵△ABC是正三角形，P为重心，

∴P在AD上，

过A点作AE⊥x轴于点E，

过D作DH//x轴，交AE、y轴分别为G、H，

过P作PQ⊥HG于点Q，

∵D为AC的中点，DG//x轴，

∴DG=CE，AG=AE=，

又∵∠BDA=90°，

∴∠BDH+∠ADG=90°，

∵∠DAG+∠ADG=90°，

∴∠BDH=∠DAG，

又∠BHD=∠AGD=90°

∴△BHD∽△AGD

∴

∵

∴

∴，

连接AP，则∠PAD=30°，

∴

∵PQ⊥HG，BH⊥HG，

∴PG//BH

∴△DPQ∽△DBH

∴△DPQ∽△DAG，

∴，

∴，

∴点P的纵坐标为：PQ+GE=，横坐标为：

∴P(，)，

∴．

故答案为：；．