Question

请仔细阅读材料，并解答相应问题：
定义A=a+b

m

，B=a-b

m

（a、b、m均为正有理数）都是无理数，若满足①A+B=2a为有理数；②AB=a²-mb²为有理数，则称A、B两数为姐妹数（如3+2

2

，3-2

2

，∵3+2

2

+3-2

2

=6，（3+2

2

）（3-2

2

）=3²-（2

2

）²=9-8=1，∴6，1为有理数，则3+2

2

、3-2

2

为姐妹数）
（1）已知x₁，x₂是x²-4x=2的两个根，求x₁，x₂的值，并通过以上方法判断x₁，x₂是否是一对姐妹数．
（2）在（1）条件下请继续判断x₁²、x₂²是否是一对姐妹数．

Answer 1

考点：分母有理化

专题：阅读型

分析：（1）求出方程的解得到x₁，x₂的值，求出x₁+x₂与x₁x₂的值，利用题中的新定义判断即可；
（2）分别求出x₁²+x₂²与x₁²x₂²的值，利用题中的新定义判断即可．

解答：解：（1）方程x²-4x=2，
配方得：x²-4x+4=6，即（x-2）²=6，
∴x-2=±

6

，
解得：x₁=2+

6

，x₂=2-

6

，
∴x₁+x₂=2+

6

+2-

6

=4，x₁x₂=（2+

6

）（2-

6

）=4-6=-2，
而4，-2都为有理数，∴x₁，x₂为姐妹数；
（2）∵x₁+x₂=4，x₁x₂=-2，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16+4=20，x₁²+x₂²=（x₁x₂）²=4，而20与4都为有理数，
则x₁²、x₂²是一对姐妹数．

点评：此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．