Question

三个正方形ABCD，BEFG，RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）

A．14
B．16
C．18
D．20

Answer 1

【答案】分析：设AB=a，FP=b，延长PK，BE交于点M，根据正方形性质得出AB=AD=CD=BC=a，FR=RK=PK=FP=b，求出S_△AED=（4+a）a，S_△CGD=（a-4）a，S△KPG=（4+b）b，S_△EKM=（4-b）b，代入式子S_△DKE=（S_{正方形ABCD}+S_{正方形GFEB}+S_{正方形FPME}）-（S_△AED+S_△CGD+S_△GPK+S_△EMK）求出即可．
解答：解：设AB=a，FP=b，延长PK，BE交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=CD=BC=a，
∴S_△AED=（4+a）a，
∵CG=BC-BG=a-4，
∴S_△CGD=（a-4）a，
∵四边形FPRK为正方形，
∴FR=RK=PK=FP=b，
∵GF=4，
∴S△KPG=（4+b）b，
∵四边形FEBG、FPKR为正方形，
∴∠MBG=∠BGP=∠P=90°，
∴矩形FPME，
∴PM=4 KM=4-b，
∵EM=b，
∴S_△EKM=（4-b）b，
∴S_△DKE=（S_{正方形ABCD}+S_{正方形GFEB}+S_矩形FPME）-（S_△AED+S_△CGD+S_△GPK+S_△EMK），
=（a²+4²+4b）-[（4+a）a+（a-4）a+（4+b）b+（4-b）b]，
=a²+16+4b-[2a+a²+a²-2a+2b+b²+2b-b²]
=a²+16+4b-[a²+4b]
=16；
解法二、
连接BD、GE、FK，
则根据正方形性质推出∠PFK=∠FGE=∠CDB=45°，
即BD∥GE∥FK，
则根据等底等高的三角形面积相等得出：S_△GED=S_△GBE，S_△KGE=S_△FEG，
∴阴影部分的面积是S=S_△GED+S_△KEG=S_△GEB+S_△FGE=S_{正方形BGFE}=16；
故选B．
点评：本题考查了矩形的性质和判定、正方形性质，三角形的面积、面积与等积变换，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形（如三角形或正方形）的面积来求，题目比较典型，是一道比较好的题目．