精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(2008•攀枝花)已知二次函数的顶点C的横坐标为1,一次函数y=kx+2的图象与二次函数的图象交于A、B两点,且A点在y轴上,以C为圆心,CA为半径的⊙C与x轴相切,
(1)求二次函数的解析式;
(2)若B点的横坐标为3,过抛物线顶点且平行于x轴的直线为l,判断以AB为直径的圆与直线l的位置关系;
(3)在满足(2)的条件下,把二次函数的图象向右平移7个单位,向下平移t个单位(t>2)的图象与x轴交于E、F两点,当t为何值时,过B、E、F三点的圆的面积最小?
分析:(1)由于点A在y轴上,根据一次函数的解析式(主要注意常数项)即可得到点A的坐标,所以要求出二次函数的解析式,还必须知道顶点C的具体坐标;已知以C为半径的圆与⊙C相切,那么点C必在x轴的上方,且点C到x轴的距离(即C点的纵坐标值)与CA的长相同,可据此确定出点C的坐标;然后先将二次函数的解析式设为顶点式,再代入点A的坐标后可得解.
(2)已知点B的横坐标,代入(1)的二次函数解析式中可得到点B的坐标,以AB为直径的圆的圆心必为线段AB的中点,A点坐标已知,则圆心坐标可求,判定圆心到直线l的距离是否与AB长的一半相等即可.
(3)首先根据“左加右减,上加下减”的平移规律得出平移后的函数解析式,令函数值为0后可得到点E、F的坐标(用含t的式子表达);题目要求的是过B、E、F三点的圆的面积最小,那么这个圆的半径应该最小,可根据这个思路来解题;设这个圆的圆心为P,那么PB=PE=PF=rP,所以点P必在线段EF的中垂线上,如果半径rP最短,那么PB的长最短,通过图示我们可以看出,当BP垂直于EF的中垂线时(即BP为点B到EF中垂线的垂线段),BP的长最短,可据此确定圆心P的坐标,然后由PE=BP列方程求得t的值.
解答:解:(1)∵一次函数y=kx+2的图象与二次函数的图象交于y轴的A点,
∴A(0,2);
∵以CA为半径的⊙C与x轴相切,
∴点C在x轴上方,可设C(1,y),则有:
y2=(1-0)2+(y-2)2,解得 y=
5
4

即:顶点C(1,
5
4
);
设二次函数的解析式为:y=a(x-1)2+
5
4
,代入A(0,2),有:
a(0-1)2+
5
4
=2,解得 a=
3
4

∴二次函数的解析式:y=
3
4
(x-1)2+
5
4
=
3
4
x2-
3
2
x+2.

(2)当x=3时,y=
3
4
(x-1)2+
5
4
=
3
4
×4+
5
4
=
17
4
,即 B(3,
17
4
);
由(1)知,A(0,2),所以 AB的中点(
3
2
25
8
),AB=
(3-0)2+(
17
4
-2)2
=
15
4

过点C且平行于x轴的直线l:y=
5
4
,所以以AB为直径的圆心到直线l的距离为:
25
8
-
5
4
=
15
8
=
1
2
AB;
因此以AB为直径的圆与直线l相切.

(3)二次函数平移后的解析式为y=
3
4
(x-8)2+
5
4
-t,
令y=0,即
3
4
(x-8)2+
5
4
-t=0,解得:x=8±
3
3
4t-5

假设E(8-
3
3
4t-5
,0)、F(8+
3
3
4t-5
,0),EF的中垂线为x=8;
过B、E、F三点的圆心在x=8上,若过B、E、F三点的圆的面积最小,只需点B到直线x=8的距离最小,即最小值为5;
过B作直线x=8的垂线,垂足P即为圆心,半径r=5;
则PE=5,EF=
2
3
3
4t-5
,ES=
1
2
EF=
3
3
4t-5

由PS2+ES2=PE2,得:(
17
4
2+
1
3
(4t-5)=52
解得:t=
413
64

即:当t=
413
64
时,过B、E、F三点的圆的面积最小.
点评:此题是圆与函数的综合题,主要涉及了函数解析式的确定、函数图象的平移、直线与圆的位置关系、三角形的外接圆等重要知识点;题目的难点在于最后一题,将三角形外接圆的面积最小问题转化为半径长的问题是突破此题的关键所在.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

(2008•攀枝花)从数字3、4、5中任意抽取两个数字组成一个两位数,则这个数恰为奇数的可能性为(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2008•攀枝花)已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-5x+4=0的两根,O1O2=3,则两圆位置关系为(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(2008•攀枝花)阅读下面五个命题,把正确命题的序号全部填在横线处:
①五角星是中心对称图形;
②对角线互相垂直相等的四边形是正方形;
③菱形四边中点的连线组成的四边形是矩形;
④垂直于同一直线的两条直线互相平行;
⑤在一个确定的等腰三角形底边上任意的一点(端点除外)到两腰距离之和是一个定值.
正确命题的序号
③⑤
③⑤

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2008•攀枝花)在向汶川地震灾区执行空投任务中,一架飞机在空中沿着水平方向向空投地O处上方直线飞行,飞行员在A点测得O处的俯角为30°,继续向前飞行1千米到达B处测得O处的俯角为60°.飞机继续飞行0.1千米到达E处进行空投,已知空投物资在空中下落过程中的轨迹是抛物线,若要使空投物资刚好落在O处.
(1)求飞机的飞行高度.
(2)以抛物线顶点E为坐标原点建立直角坐标系,求抛物线的解析式.(所有答案可以用根号表示)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2008•攀枝花)某校服生产厂家计划在年底推出80套两款新校服A和B,预计前期投入资金不少于20900元,但不超过20960元,且所投入资金全部用于两种校服的研制,其成本和售价如下表:
A B
成本价(元/套) 250 280
售价(元/套) 300 340
(1)该厂家有哪几种生产新校服的方案可供选择?
(2)该厂家采用哪种生产方案可以获得最大的利润?最大利润为多少?
(3)经市场调查,年底前每套B款校服售价不会改变,而每套A款校服的售价将会提高m元(m>0),且所生产的两种校服都可以售完,该厂家又该如何安排生产校服才能获得最大利润呢?

查看答案和解析>>

同步练习册答案