Question

16．正方形ABCD中，E、F分别在AD、DC上，EF的延长线交BC的延长线于G点，且∠AEB=∠BEG；
（1）如图1，求证：△BEG为等腰三角形；
（2）如图2，若E、F两点分别在AD、DC上运动，其它条件不变，试问：线段AE、EF、FC三者之间是否存在确定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并证明；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，若AB=4，AE=1，利用（2）的结论，求四边形BEFC的面积．

Answer 1

分析 （1）证明：∵根据正方形的性质得到AD∥BG，根据平行线的性质得到∠AEB=∠EBG等量代换得到∠BEG=∠EBG，于是得到结论；
（2）作BQ⊥GE于Q，根据全等三角形的性质得到AB=QB，AE=QE，则BQ=BC，FQ=FC，如何根据线段的和差即可得到结论；
（3）作GH⊥BE于点H，则△BGE是等腰三角形，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BG，∴∠AEB=∠EBG，∵∠AEB=∠BEG，∴∠BEG=∠EBG，∴BG=EG，∴△BEG为等腰三角形；

（2）解：AE+GF=EF．理由如下：
作BQ⊥GE于Q，如图1，
在△BEA和△BEQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BQE}\\{∠AEB=∠QEB}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△BEQ（AAS），
∴AB=QB，AE=QE，
而AB=BC，
∴BQ=BC，
在△BFQ和△BFC中
$\left\{\begin{array}{l}{BQ=BC}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFQ≌△BFC（HL），
∴FQ=FC，
∴EF=EQ+FQ=AE+CF；

（3）解：作GH⊥BE于H，如图2，
在Rt△ABE中，AB=4，AE=1，BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵△GBE为等腰三角形，
∴BH=EH，
∴BH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{17}$，
∵∠AEB=∠GBH，
∴Rt△ABE∽Rt△BGH，
∴$\frac{AB}{GH}$=$\frac{AE}{BH}$，即$\frac{4}{GH}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{17}}{2}}$，
∴GH=2 $\sqrt{17}$，
∴S_△BEG=$\frac{1}{2}$×BE×GE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{17}$×2 $\sqrt{17}$=17；
∵BG=$\sqrt{B{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\frac{17}{2}$，
∴CG=$\frac{9}{2}$，
∵AE=1AD=AB=4，
∴DE=3，
∵△DEF∽△CGF，
∴$\frac{DE}{CG}=\frac{DF}{CF}$，即$\frac{3}{\frac{9}{2}}=\frac{4-CF}{CF}$，
∴CF=$\frac{12}{5}$，
∴四边形BEFC的面积=S_△BEG-S_△CFG=17-$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{52}{5}$．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质、等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算．