Question

如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

Answer 1

（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE=

2

FE；

（2）（1）中的结论仍然成立．
如图2，连接CF，延长EF交CB于点G，
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDF=∠GBF，
又∵∠EFD=∠GFB，DF=BF，


∴△EDF≌△GBF，
∴EF=GF，BG=DE=AE，
∵AC=BC，
∴CE=CG，
∴∠EFC=90°，CF=EF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF=45度，
∴CE=

2

FE；

（3）（1）中的结论仍然成立．
如图3，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，
∵DF=BF，
∴FM∥AB，且FM=

1

2

AB，
∵AE=DE，∠AED=90°，
∴AM=EM，∠AME=90°，
∵CA=CB，∠ACB=90°
∴CN=AN=

1

2

AB，∠ANC=90°，
∴MF∥AN，FM=AN=CN，
∴四边形MFNA为平行四边形，
∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA，
∴∠EMF=∠FNC，
∴△EMF≌△FNC，



∴FE=CF，∠EFM=∠FCN，
由MF∥AN，∠ANC=90°，可得∠CPF=90°，
∴∠FCN+∠PFC=90°，
∴∠EFM+∠PFC=90°，
∴∠EFC=90°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴CE=

2

FE．