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已知:抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,点B在x轴的正半轴上,与y轴交于点C(0,-3),抛物线顶点为M,连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q,且点Q到x轴的距离为6.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直,求出点D的坐标.
分析:(1)根据直线A、C的解析式,即可求出直线AC的解析式;已知直线AC上点Q的纵坐标为-6,根据直线AC的解析式即可求出点Q的横坐标即抛物线的对称轴方程;将A、C的坐标代入抛物线的解析式中,联立抛物线的对称轴方程即可求出该抛物线的解析式;
(2)若直线DC与AC垂直,则两条直线的斜率的乘积为-1,由此可确定直线CD的解析式,联立抛物线的解析式即可求出D点的坐标.
解答:解:(1)设直线AC的解析式为:y=kx+b(k≠0),则有:
-k+b=0
b=-3

解得
k=-3
b=-3

∴直线AC的解析式为:y=-3x-3;
当y=-6时,-3x-3=-6,x=1;
∴Q(1,-6),即抛物线的对称轴为x=1;
设抛物线的解析式为:y=a(x-1)2+h,依题意,有:
4a+h=0
a+b=-3

解得
a=1
h=-4

∴抛物线的解析式为:y=(x-1)2-4;

(2)由(1)知:直线AC的解析式为:y=-3x-3,若直线CD与AC垂直,
则直线CD的解析式为:y=
1
3
x-3,联立抛物线的解析式有:
y=(x-1)2-4
y=
1
3
x-3

解得
x=0
y=-3
x=
7
3
y=-
20
9

D(
7
3
,-
20
9
)
点评:此题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定,函数图象交点坐标的求法等知识,需要识记的内容有:如果两条直线互相垂直,那么它们的斜率的乘积为-1.
练习册系列答案
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(1)求抛物线顶点D的坐标;
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(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG(顶点D,E,F,G在△ABC各边上)?若能,求出在AB边上的矩形顶点的坐标;若不能,请说明理由.
[抛物线的顶点坐标是]

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知:抛物线与x轴交于
点A(x1,0)、B(x2,0),且x1<1<x2
【小题1】求A、B两点的坐标(用a表示);
【小题2】设抛物线的顶点为C,求△ABC的面积;
【小题3】若a是整数,P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合),
在x轴上方作等边△APM和等边△BPN,记线段MN的中点为Q,求抛物线的
解析式及线段PQ的长的取值范围.

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