Question

已知：抛物线与x轴交于A（-1，0）、B两点，点B在x轴的正半轴上，与y轴交于点C（0，-3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据直线A、C的解析式，即可求出直线AC的解析式；已知直线AC上点Q的纵坐标为-6，根据直线AC的解析式即可求出点Q的横坐标即抛物线的对称轴方程；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，联立抛物线的对称轴方程即可求出该抛物线的解析式；
（2）若直线DC与AC垂直，则两条直线的斜率的乘积为-1，由此可确定直线CD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出D点的坐标．

解答：解：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b（k≠0），则有：

-k+b=0 b=-3

，
解得

k=-3 b=-3

；
∴直线AC的解析式为：y=-3x-3；
当y=-6时，-3x-3=-6，x=1；
∴Q（1，-6），即抛物线的对称轴为x=1；
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+h，依题意，有：

4a+h=0 a+b=-3

，
解得

a=1 h=-4

∴抛物线的解析式为：y=（x-1）²-4；

（2）由（1）知：直线AC的解析式为：y=-3x-3，若直线CD与AC垂直，
则直线CD的解析式为：y=

1

3

x-3，联立抛物线的解析式有：

y=(x-1)2-4 y= 1 3 x-3

，
解得

x=0 y=-3

，

x= 7 3 y=- 20 9

；
∴D(

7

3

，-

20

9

)．

点评：此题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，函数图象交点坐标的求法等知识，需要识记的内容有：如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1．