Question

附加题：如图，如果A、B、C不在一条直线上，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，AE交BD于点F，DC交BE于点G，那么AE=DC和BF=BG成立？并请加以说明．

Answer 1

解：AE=DC，但BF≠BG．
理由（1）AE=DC．
∵△ABD和等边△BCE，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
即∠ABE=∠CBD，
∴△ABE≌△DBC（SAS）．
∴AE=DC（全等三角形对应边相等），
∠BAE=∠BDC（全等三角形对应角相等）．

（2）BF≠BG．
理由：若BG=BF，由（1）可知△ABE≌△DBC，
∴∠BAF=∠BDG，
又AB=DB
则△ABF与△DBG有两边和一边的对角对应相等．
∴∠ABF=∠DBG或∠ABG+∠DBG=180°（不合题意，舍去）
∴△ABF≌△DBG（SAS）．
∴∠ABF=∠DBG=60°（全等三角形对应角相等）．
∴∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE，
所以A、B、C在同一条直线上，这与题意A、B、C不在同一直线上矛盾，
∴BF≠BG．
另法：BF≠BG
上面已证明∠BCD=∠BEA
假如BF=BG（边），又BC=BE（等边三角形之边）
则必须∠EBF=60°（两边夹角）
才能使△BCG≌△BEF（SAS）
而现在的∠EBF是任意的．“A，B，C三点不在一条直线上”．
如果“A，B，C三点不在一条直线上”，且∠ABC=120°，
则BF=BG．
分析：要说明AE=DC和BF=BG是否成立，因为它们在不同的三角形中，所以可证两个三角形全等，分别说明是否成立．由题意知等边△ABD和等边△BCE得：AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，所以可得△ABE≌△DBC可说明AE=DC．而BF=BG是否成立，可在△ABF和△DBG中加以说明，若BF=BG，则可证△ABF≌△DBG，全等三角形的对应角相等，则有∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE，这个式子说明A、B、C三点同线，与题意不符，所以二者不相等．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；证明线段不相等是比较独特的，要注意掌握．