Question

如图，Rt△ABC中，以斜边AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线分别交BC，OC的延长线于点D，E．
（1）求证：△EDC∽△ECA．
（2）若tanE=

3

4

，DE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）通过证明△EDC与△ECA三对应角相等，可证得两三角形相似．
（2）通过解直角三角形可得OA：OE=3：4，利用第一问结论△EDC∽△ECA，可得ED：EC=EC：EA，通过相似比和半径、直径关系，可解得半径OA的长．

解答：（1）证明：∵AE切⊙O于点A，
∴∠BAD=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠EAC=∠B，（1分）
∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，
∴∠EAC=∠OCB，
∵∠OCB=∠ECD，
∴∠EAC=∠ECD，
又∠E为公共角，
∴△EDC∽△ECA；（4分）

（2）解：∵Rt△AOE中，∠OAE=90°，
∴tanE=

OA

EA

=

3

4

，
∴设OA=3x，EA=4x，
∴OE=5x，（5分）
∵OC=OA=3x，∴EC=2x，（6分）
∵△EDC∽△ECA，
∴

ED

EC

=

EC

EA

，
∴ED=x，（7分）
∵ED=2，
∴OA=6，
∴⊙O的半径是6．（8分）

点评：本题考查了三角形相似的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识点，找到相关的等量关系是解题的关键．