Question

3．已知关于x的一元二次方程x²-2（1-m）x+m²=0的两实数根为x₁，x₂，则y=x₁+x₂+2x₁x₂的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由方程有实数根可得出△=4-8m≥0，解之即可得出m的取值范围，根据根与系数的关系可得出y=x₁+x₂+2x₁x₂=2（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，利用二次函数的性质即可找出y的最小值，此题得解．

解答 解：∵关于x的一元二次方程x²-2（1-m）x+m²=0有实数根，
∴△=[-2（1-m）]²-4m²=4-8m≥0，
∴m≤$\frac{1}{2}$．
∵关于x的一元二次方程x²-2（1-m）x+m²=0的两实数根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2（1-m），x₁x₂=m²，
∴y=x₁+x₂+2x₁x₂=2（1-m）+2m²=2m²-2m+2=2（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$．
∵m≤$\frac{1}{2}$，
∴当m=$\frac{1}{2}$时，y取最小值，最小值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及二次函数的性质，根据根与系数的关系找出y=2（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$是解题的关键．