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将所有质数从小到大依次排列为p1,p2,p3,…,证明:当n≥2时,pn+pn+1一定可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数(在这些正整数中,允许有相同的数)的乘积.
【答案】分析:将所有质数从小到大依次排列为p1,p2,p3,…,首先可从n=2去分析,可得pn+pn+1=p2+p3=8=2×2×2,即可得pn+pn+1可以表示为三个不小于2的正整数的乘积,然后分析n>2时的情况,可得Pn和Pn+1一定是奇数,然后设Pn=2k+1,Pn+1=2m+1,然后根据数的奇偶性质可得m+k+1只能是合数,则可得pn+pn+1=2k+1+2m+1=2(m+k+1)=2×A×B,则可证得结论正确.
解答:解:∵将所有质数从小到大依次排列为p1,p2,p3,…,
∴当n=2时,p2=3,p3=5,
∴pn+pn+1=p2+p3=8=2×2×2;
∴当n>2时,Pn和Pn+1一定是奇数(否则可以被2整除,就不是质数了),
∴它们可以表示成2k+1的形式,
∴Pn=2k+1,Pn+1=2m+1,
∴pn+pn+1=2k+1+2m+1=2(m+k+1),
∵pn<pn+1
∴m>k,
∴m+k+1>2k+1=Pn
∴m+k+1<2m+1=Pn+1
∵pn和pn+1是连续质数,
∴处于它们之间的数m+k+1只能是合数,能被表示为A×B的形式,
∴pn+pn+1=2k+1+2m+1=2(m+k+1)=2×A×B,
∴当n≥2时,pn+pn+1一定可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数(在这些正整数中,允许有相同的数)的乘积.
点评:此题考查了质数与合数的应用.此题难度较大,解题的关键是掌握质数与合数的性质,注意分类讨论思想的应用.
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4月底,江南中学实验分校初三年级进行体育中考模拟考试.表一是2010年无锡市初中毕业升学体育考试项目与评分标准的一部分(男生).
表一
分值
项目
速度耐力类
 (15分)
灵巧类
(10分)
力量类
(10分)
800米跑
(分秒)
30跳绳
(次)
掷实心球
(米)
15 3:15
14 3:20
13 3:25
12 3:35
11 4:00
10.5 4:01以下
10 92 9.60
9 86 7.70
8 80 5.30
7 79以下 5.29以下
表二
序号 006 010 011 016 020 023 025 028 029 035
成绩 34 35 35 33 35 32 34 35 34 34
序号 037 040 042 043 050 051 055 058 060 069
成绩 35 35 34 35 35 34 33 33 32 35
(1)小明在这次模拟考试中三个项目的成绩分别是800米跑3分10秒,跳绳跳85个,实心球掷8.60米,则小明的体育模拟考试的得分是
 
分.
(2)将所有选择800米跑、30″跳绳和掷实心球这三个考试项目的男生分为一组,从001开始编排序号,依次是从小到大排列的连续整数,现从这一组中随机抽取
 
20位学生,其序号和模拟考试的得分如表二:
①这20位学生体育模拟考试得分的众数是
 

②请在下面给出的图中画出这20名学生体育中考模拟考试得分的频数条形统计图,并计算出这20名学生的体育模拟考试的平均得分;
③根据表二,小明认为初三年级选择“800米跑、30″跳绳和掷实心球”这三个考试项目的男生的总人数一定超过80人,你认为小明的判断是否合理?若不合理,请你利用所学的中位数的有关知识估算出最可能的人数.
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