Question

【题目】已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB∥x轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．

（1）当a＝﹣1时，求线段OB的长．

（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出求a值的计算过程；若不存在，请说明理由．

（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）a＝﹣1或﹣；（3）m＝3n2+2

【解析】

由y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），可得点C（0，3a）、对称轴为：x＝2，点B（4，3a），点A（2，﹣a），点D（4，﹣2a）；

（1）把a=-1代入求得点B（4，﹣3），继而可得OB长；

（2）分OD＝OB、OD＝BD、OB＝BD三种情况，分别求解即可；

（3）线段OD的中垂线的表达式为：y＝x﹣a﹣…①，线段BD的中垂线的表达式为：y＝a…②，联立①②并解得：x＝a2+2＝m，y＝a＝n，即可求解．

y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），

当x=0时，y=3a，

所以点C（0，3a）、

函数的对称轴为：x＝2，

所以点B（4，3a），

当x=2时，y= a（2﹣1）（2﹣3）=-a，

所以点A（2，﹣a），

设OA的解析式为y=kx，

把A（-2，a）代入，得a=-2k，得k=，

所以直线OA：y=x，

当x=4时，y=-2a，

所以点D（4，﹣2a）；

（1）当a=-1时，点B（4，﹣3），故OB＝=5；

（2）OD2＝16+4a2，OB2＝16+9a2，BD2＝25a2，

①当OD＝OB时，即16+4a2＝16+9a2，解得：a＝0（舍去）；

②当OD＝BD时，同理可得：a＝﹣或a＝（正值舍去）；

③当OB＝BD时，同理可得：a＝﹣1或a=1（正值舍去）；

综上，a＝﹣1或﹣；

（3）线段OD的函数表达式为：y＝﹣ax，直线OD的中点为点A（2，﹣a），

则线段OD的中垂线的表达式为：y＝x+b，

将点A（2，﹣a）代入上式得：-a=+b，

解得：b=-a-，

所以线段OD的中垂线的表达式为：y＝x﹣a﹣…①，

线段BD的中垂线的表达式为：y＝a…②，

联立①②并解得：x＝a2+2＝m，y＝a＝n，

故m＝3n2+2．